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Questo stesso problema viene qui risoluto con un'altra espressione che 

 è del pari binomia e lascia alle caratteristiche y e g la stessa generalità. 

 Le notazioni sono le stesse delle due Note precedenti. 



I. 



1. Nella formola (I) del § I della precedente Nota : 



(i) 4> , il = I ì(- 1)"-»*»» [> + .,, + ,]'. 



la quale sussisteva qualunque siano i numeri interi y e g soddisfacenti alle 

 condizioni 



(1) ri + n + ys + Vi = gì + g, + ^ + ^ = o (mod. 2) 



cangiamo le y, in r* + f ' e 10 ^ in gi-\-yf (i = 1 , 2 , 3 , 4). Otteniamo 



così 



or i / ih V" 1 V/ T^^+^'+^Tfi+^Wi+l^) r i . f „ ( in' 



2[r+« >^ + ^]= Z >_(— i) [r+*+* ^+^+i?3 



71=0 e=0 



Se ora poniamo : 



«-{-<•'== a" , + r/ = i/' (mod. 2) 



essendo e" ed 17" uguali allo zero ovvero all'unità, potremo anche scrivere 

 tenendo presenti le condizioni (1) 



7)=1 £=1 



= 1 Z( 



Yi=o e=0 



Ma le quattro coppie («" , rj") corrispondenti alle quattro coppie (f , ?;) non 

 differiscono che per l'ordine dalle stesse quattro coppie (e , 77). Quindi si 

 potrà anche scrivere: 



(II) 2[_y-\-s',g-\- v 'l=>_ >_(— 1) [y+«^-h?] 



71=0 E=0 



2. Supponiamo ora, per semplicità, che e' ed rf siano i numeri 0, ov- 

 vero 1, e che la coppia («',?/) differisca dalla coppia (0,0). La (I) si po- 



2[r+*',£-H'] = 

 — 1) [r-H ,0 + 9] 



