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 Da queste ultime si deduce, derivando, 



~òXj ^)Xk ~ì)Xi ~bót?ii ~òXj 7)*ft ~òXj 



per ogni terna i , j , k di indici differenti. Intanto dalla prima eguaglianza 

 (7) risulta immediatamente che (f è il prodotto di * per una funzione di 

 Xi , x 2 , .... % n \ e questa, in virtù di (8) per i = 0, deve contenere linear- 

 mente le variabili, sicché 



<p = (a -{- «i Xi -f- «2 *2 + • • • -f" «n*«) *■ 



Dalla (8), per z>0, segue ancora che ~ìxfi/~òXj dipende soltanto da xì e 

 da Xj\ e poiché 



— — tì/j ^ * ——— — — — ^ 



~ì)*£ ^)*?° "S*; * ~òXj ~òXj ~J)*i ~òXi X 



si ha 



| Clj X ì «j *j , 



jt)*?; 



con aij -j- «,•£ = 0 . Conosciamo così n — 1 derivate di (fi ; le altre due sono 

 — — — — — = — flj a? , — ~ == ~ = « + «i #l + «2*2 + ' 1 " + «n*n- 



Dunque 



(fi = tt'i -f- «£i*i + «£2*8 -f" h UinXn 



+ (« rh «2*2 + • ' • + «»*n) *i — 'A «<(* 2 + #1 + «1 + " ' + 



Ora, se si tien conto del vincolo (2) fra le variabili, bisogna che sia sod- 

 disfatta anche la relazione (4), ed occorre perciò che si abbia, identicamente, 



«R 2 -f- V2 («1*1 + «2*2 H h an%n) R 2 -f- «1*1 + «2*2 -{-• •• -j- a' n x n = 0» 



d'onde « = 0 , «;= — l / 2 a i 'B?, sicché, finalmente, 



<p, = «,!*! + «£ 2 »2 + • • • + a in x n 



-j- («1*1 + «2*2 -4" • f~ CLnXn) Xi — «£ R 2 . 



Le formole precedenti sono particolarmente utili per lo studio degli 

 enti immersi in uno spazio non-euclideo, e conviene applicarle immaginando 

 che l'origine M(*! = x z = ■ ■ • = x n = 0) passi per tutte le posizioni pos- 



