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sibili nell'ente da studiare. Così l'origine trasporta con sè parecchi vantaggi 

 dell'ordinaria geometria euclidea, giacché nello spazio infinitesimo circostante 

 ad essa il reticolo delle linee coordinate è simile a quello delle coordinate 

 rettangole cartesiane, e rimangono perciò in vigore, nel dominio di M, le 

 relazioni angolari euclidee. In particolare la direzione di qualsiasi retta 

 condotta per M è definita da coseni a,-, tali che a\-\- a 2 -j- ■ ■ • -j- cr n = 1. 

 Per ogni altra retta i coseni direttori si possono definire scegliendo, sulla 

 retta che si vuol considerare, un punto P^ , £ 2 , ••• , tale che le coor- 

 dinate dei punti all' infinito, I ed V, siano £j ztz «[R , £ 2 ztz a 2 R , ... , £„^±r « n R, 

 per la qual cosa occorre che si abbia 



(£, =h «, S)» + (£, =t a 2 R) 2 -j \- (£, ± a„R) 2 = RV 



ossia 



(9) «i £i + «2 £2 + ■ • • + a « f* = 0 > 

 ed inoltre, ponendo £ = Rsenw , « = cos&>, 



(10) , « 2 + «?-h«l+- • • + 4=^ 1 - (K* 



Intanto la direzione MP è definita dai coseni £ ; /«R , le direzioni MI , MI' 

 dai coseni ztz a i -{-§ i /'R; e però gli angoli PMI,PMI' sono entrambi uguali 

 ad <a, giacché si trova, ricordando la (9), che il coseno di ciascuno di essi 

 ha il valore 



4«r\~ , + r/~ «r 2 - 



Dunque P è il piede della perpendicolare condotta per M alla retta consi- 

 derata, ed oa è l'angolo di 'parallelismo di questa retta rispetto ad M. 



Ora è facile trovare le condizioni necessarie e sufficienti per l'immo- 

 bilità d'una retta. Basta (ed è questo un .vantaggio della geometria non- 

 euclidea) esprimere l' immobilità dei punti all' infinito. Le condizioni per 

 tale immobilità si scindono subito in 



*on >i •■ i < |j dai ..• • A ; .• ' !■:'■ ■■ >. - '" ' ' . 



— = a (1 a^ -f- a i2 ao -f- • • ■ -f- ai„ a n 



(11) + (%;«?! -j- «a« 2 H h + ^2^2+ ■ • • + a n '§„)a iy 



e, ricordando le (5), 



(12) -r 1 == («!«, -}- a 2 a a -j- ■ • • -f- a n a n ) a ; R 2 . 



