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Da queste ultime risulta 



§ Ts ~ — 2. ds - u ' 



quindi c?f/is se 0 , ossia d£/ds = (<z,£i 4* «2^2 + • — f* tf«£n) I, e per con- 

 seguenza 



(13) ^- = («i?i + + M»£n)tgw. 



Inoltre dalla (1) si deduce, mediante le (12), che lo spostamento del punto P è 

 R 



da = - ysg -f(T|l+--- + *S» = + a 2 « 2 + h «„«„) B*ds . 



D'altra parte le variazioni delle coordinate dell'origine sono, per le (5), 



(14) òx i ==a ì Wds , Sxi = a 2 R 2 ds , ... , Sx n = a n R 2 ds, 

 e però all'ultima eguaglianza si può dar la forma 



(15) da = a x óxi -\- a 2 0x2 -f- • • • -f- a n 6x n • 



Il moto d' un punto è dunque legato a quello della sua proiezione sopra 

 una retta fissa come nello spazio euclideo ; ma se la retta si allontana inde- 

 finitamente nello spazio di Lobatschewsky, se cioè tende ad essere « *è= 0, 

 ossia a = 1 , la (10) mostra che tutte le « t tendono ad annullarsi, e per 

 conseguenza P a rimanere immobile. Al medesimo risultato si perviene, del 

 resto, direttamente, se si osserva che la proiezione da 0 dello spostamento 

 di M sulla perpendicolare ad MP, condotta per M nel piano IMF è, nel 

 quadrilatero costruito sui lati da a , da ed MP = r, vincolata a do ed r 



mediante la relazione th ^~ — th -=7 • eh ^ , dalla quale, ricordando (') che 



f» A.. ' ■' r ;■" ifif Jfo|t .*fì -v\\\J 



sen co — 1/ch — , si deduce da = da 0 • sen w ; e questa, poiché i coseni «,/seno) 



-LA) 



definiscono, in virtù di (3), la direzione di da 0 , non differisce dalla (15). 



Ci si consenta, ora, qualche rapido cenno intorno al modo di applicare 

 quanto precede allo studio delle curve e delle superficie nello spazio non- 

 euclideo a tre dimensioni. Si dirigano gli assi delle x , y , 2 secondo la tan- 

 gente, la binormale e la normale principale della curva descritta da M , e si 

 prenda ds uguale allo spostamento infinitesimo di M. Per le (14) dev'essere 

 a x = 1/R 2 , a 2 = a 3 = 0 ; ed inoltre, poiché (per le condizioni d' immobilità 

 dei punti) il piano y = 0 rota intorno alla retta a ìx x -f- #23 2 = 0 , se si 



(') Lobatschewsky, Giornale di Battaglini, 1867, pag. 289. 



