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vuole che questa sia la tangente (affinchè y = 0 sia il piano osculatore) si 

 deve prendere a n = 0 , e per conseguenza a n = 0 . Dopo ciò, se si pone 

 a l3 =s x , a ì3 ss r, si trova che le condizioni necessarie e sufficienti per l' im- 

 mobilità del punto (x ,y ,z) sono 



dx , , x % dy , xy ds . . x , xz 



Per una retta definita dal corrispondente punto P(£ ,• 17 , £) e dai coseni di- 

 rettori a,p,y, le condizioni d'immobilità (11) e (12) diventano 



da d£ . . £ 2 



_ = xy + 2 - ,_ = xf _i4.« 4.- , 



;^_ ry ^ = + + 



/ + fi 8 \d* ~ ; ' 



/ 1 ^ 1 w ? -f- °£ /ti \ 1 . 

 _i = _ (xa + TiS) + _nii_, _ = + + + 



e dalla terna di sinistra agevolmente si trae il significato geometrico di x 

 e di flessione e torsione della linea (M). È poi utile notare che la (13) 

 dea f 



da ^ s= ^ tgW ' ° SSia 



/ICA t li d 1 X. r £ 



(18) -l og sen <U ==_-logch- = -. 



Da questa e dalle (17) di sinistra segue che le condizioni 



U j rfs y + R 2 ' ds 7 ^ R 2 ' ds 1 ^ w ^ R 2 



sono soddisfatte dai coseni direttori a,/?,/ della perpendicolare ad MP, 

 elevata per M piano IMI'; ed inoltre si ha « 2 -f- /? 2 -f- = 1 , 

 a£ -\~ fri -\- y£ =s 0 . Segue invece da tutte le (17) che i coseni direttori di 

 qualunque parallela, condotta per M ad una retta fissa, soddisfanno alle 

 condizioni 



/oa\ da ft 2 + V 2 &§ cefi dy ay 



(20) - = — = + - , - = _(,« + ^) + ¥ . 



Inoltre a* -f- /S 2 -f- y 2 = 1 , a£ -f- 4" — R cos2 w • Se, per esempio, si 

 vuole che (M) sia geodetica d' un cilindro (cono col vertice all' infinito), bi- 

 sogna che le (20) siano soddisfatte per y — 0 ; e però, se si pone a == cos 6, 

 i? = sen 0, si trova 



sen 0 



= — , x cos 0 -f-t sen 0 — 0 , 



