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d'onde x — x sh — , e non x/t costante, come nello spazio euclideo. Invece, 

 R 



se si vuole che la curva sia geodetica sulla superficie (rotonda) luogo dei 

 punti equidistanti da una retta fissa, bisogna prima di tutto scrivere £ = 0, 

 in virtù di (18), per esprimere che la curva appartiene alla detta superficie; 

 poi ar] =■{}}•, e per conseguenza, successivamente, 17 =-0 -, £ = R costo : y = 0, 

 per esprimere che la normale principale incontra la retta fissa. Posto 

 a = cosfl , sentì, una delle (19), la prima 0 la seconda, mostra subito 

 che 6 è costante; poi dalle (17) di destra, moltiplicando a e § per seno, 

 si ha 



r t l r v\ 



*R = th — . cos 2 0 -f- coth — . sen 2 0 , tR — Hh — — coth — 1 cos 6 sen 6 , 



ossia x e r costanti. Adunque son queste le curve che nello spazio di Lo- 

 batschewsky conservano le proprietà delle eliche circolari euclidee. In par- 

 ticolare per 6 = 0 e per 6 = y 2 re si trovano circoli (meridiani e paralleli), 

 intrinsecamente definiti nel loro piano dall'una 0 dall'altra equazione 



xR = th — , xR = coth — . Se i paralleli hanno il centro reale, i meridiani 

 R R 



lo hanno ideale; ma può accadere che, inversamente, i paralleli, e non i 

 meridiani, abbiano il centro ideale, vale a dire che l'asse di rotazione si 

 trovi fuori dello spazio reale, senza che in questo la superficie cessi di 

 esistere. Ciò si spiega osservando che ogni circonferenza è il luogo dei punti 

 equidistanti dalla polare del proprio centro rispetto all'assoluto, e che tale 

 retta « cade a distanza finita, infinita, 0 ideale, secondo che il centro cade 

 a distanza ideale, infinita, 0 finita » ( 1 ). 



Se, pur continuando a tenere Tasse delle x tangente alla linea (M), 

 si prende l'asse delle z normale ad una superficie qualunque, che passa 

 per (M), si è condotti a considerare le curvature 9V= x cos xp,<^ = x sen ip, 



^__dxp — ^ c ^ ^ linea, possiede rispetto alla superficie, designando con 



(A/O 



ìp l' inclinazione della normale principale sulla normale alla superficie. Con 

 procedimento del tutto simile a quello da noi adoperato altrove ( 2 ) si tro- 

 vano le (16) trasformate nelle seguenti condizioni 



dalle quali è poi agevole dedurre i teoremi di Meusnier, Bonnet, ecc. Appli- 



( 1 ) Battaglini, Giornale di Matematiche, 1867, pag. 228. 



( 2 ) Geometria intrinseca, cap. XI. 



