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mendo V immobilità dei punti 



x = — Esen(i/ / — w) , y = Q , z — R cos(xp=±z co), 

 situati sull'asse di rotazione, all'infinito. Si ottiene infatti 



d . *- , . cos(t// =t ftj) 

 ' + R ' 



d'onde, se si pon mente alla relazione cos co = th — , risultano le (22). Si 



cerchino, per esempio, tutte le superficie rotonde, per le quali la curvatura K 

 è uguale ad 1/R 2 . Bisogna che sia xR cos xp = cos co , e per conseguenza, 

 sostituendo nella seconda forinola (22), ed integrando, sen xp = m sen co . 

 Per m = 1 , poiché xp = co o xp = n — a, si vede che le normali son tutte 

 parallele all'asse, in un verso o nell'altro. Si ha dunque Yorisfera. Per 

 m = 0 è xp = 0, e si ritrova perciò, in virtù della prima forinola (22), il 

 luogo dei punti equidistanti da una retta fissa. Nel caso generale si ha 



dio m ,, , r ms 



— s= ~~ — sen co , d onde cot co = sh — = — ; 

 as ìx ri ri 



quindi, se con q si designa il raggio di curvatura del meridiano, 



g cos xp ■ .. q L . m s 



th -7- = , d onde eh -$r = 



R cos co R ]/ m z _ i ' R 



equazione d'una sviluppante di circolo. Conviene tuttavia mantenere l'equa- 

 zione sotto la forma 



(23) xR^ 



J/m 2 s 2 + (l — m 2 ) R 2 



per evitare che possa prender forma immaginaria. Si può sempre supporre 

 m > 0 , cambiando, se occorre, il segno di s . Intanto per m < 1 si vede 

 subito che |x|< 1/R qualunque sia s, d'onde segue che la curva è priva 

 di sviluppala reale. Siccome per s = 0 si ha x = 0,r = 0, si vede che 

 il meridiano s' inflette sull'asse di rotazione, col quale fa, nel punto d' in- 

 contro, un angolo che ha per seno m . Per m > 1 sparisce il punto d' in- 

 flessione, ed apparisce in sua vece una cuspide corrispondente al valore 



~ ]/m 2 — 1 di s . In questo punto si ha eh -^j- — m , xp = '/ 2 n , e però 



la tangente nella cuspide è perpendicolare all'asse di rotazione, e la cuspide 



