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ridursi a 2tt -j- 1 se il fascio di curve piane predetto contiene totalmente 

 una curva contata 2 volte. 



Rimane dubbio se, oltre ai piani doppi possedenti un fascio ellittico di 

 curve, cioè la cui curva di diramazione si compone di 4 curve di uno stesso 

 fascio, spoglie delle loro eventuali componenti multiple contate il massimo 

 numero di volte possibile (delle quali componenti multiple alcune possono 

 formare una curva totale del fascio), esistano piani doppi possedenti un solo 

 differenziale totale di l a specie. 



L Sia z' 2 = xp(x,y) una superficie {piano doppio) dotata di un diffe- 

 renziale totale di l a specie E dx -f- S dy , ove R ed S sono funzioni razio- 

 nali di x ,y , z , essendo poi xp (x , y) una funzióne razionale intera di x , y , 

 di grado 2p -{-2 (')• Tenendo conto della relazione z 2 = xp , tale differenziale 



può mettersi sotto la forma -f- R 2 j dx + ^-7 -f- S^dy, oreUx , R 2 . Si, S 2 



sono funzioni razionali di x , y . Poiché la superficie ammette la trasforma- 

 zione birazionale in sè (simmetria) x = x , ij == y , / = — z anche il diffe- 

 renziale ^ — ^ -4- R 2 Ì dx -f- ^ — ^-\-S z ^jdy e totale e di l a specie, sulla 



superficie, sicché la somma dei due differenziali precedenti, 2(R 2 dx-\- S 2 dy), 

 dev'essere un differenziale : totale di l a specie. Ma in esso non figura g, 

 quindi, non potendo il piano x,y , possedere di tali differenziali (di l a specie), 

 occorre che sia R 2 = S 2 = 0. Ponendo dunque R t = P , Si = Q , il nostro 



differenziale sarà della forma ^ d% -j-^Q d y egsen( j 0 p e q funzioni razionali 



tfxp 



di x , y . 



Per dire qualche cosa di più riguardo alla struttura di P e Q , comin- 

 ciamo dall'osservare che, dato ad y un valor costante, y , il nostro differenziale 

 P dx 



riducesi a —= , che deve essere un differenziale iperellittico di l a specie 



Yxp 



relativo alla curva s 2 = xp {x , y), la quale è, al massimo, di genere p ; sic- 

 ché P sarà, rispetto ad x , intera e di grado p — 1 , al massimo. 

 Porremo dunque 



P == a 0 X?- 1 -f- «! x p ~- + " ' + a p-2 x + a P-i ) 



ove i coefficienti a 0 , «i , . . . , a p -i sono funzioni razionali della sola y . 



Se, per un valor finito b di y , qualcuna delle funzioni ài avesse un 

 polo, denotando con r il massimo ordine di molteplicità di tal polo per le 

 ai , avremmo, 



n ■ <w 

 i- (y-*r 



(') S'intende sempre che tp non contiene, corri' è lecito supporre (potendosi ciò otte- 

 nere con una trasformazione birazionale della superficie), come fattori, potenze, ad espo- 

 nente > 1, di polinomi. 



