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ove le Gi(y) sarebbero funzioni razionali di y olomorfe nell' intorno di y = b, 

 delle quali una almeno sarebbe, nel punto y = b , diversa da 0. 

 Potremmo allora scegliere un cammino cosiffatto, che fosse 



p-l nCO t , r p-i-l J r 



2>(*).f x t — — 4=o. 



i=0 Joc 0 f ip (x , b) 



J" x i P dx 

 — == , contro l' ipotesi 

 *o yy{x,y) 



che il differenziale sia di l a specie su tutta la superficie. Dunque le fun- 

 zioni ai sono prive di poli a distanza finita e quindi, oltre ad essere, come 

 sappiamo, razionali, sono intere. Lo stesso ragionamento può ripetersi per Q, 

 e si conchiude che P e Q sono funzioni razionali intere di x e di y , la 

 prima, rispetto ad x 3 di grado p — 1 al massimo, la seconda rispetto 

 ad y , di grado p — 1 al massimo. 



Raccogliamo in P e Q i termini che sono, al massimo, di grado p — 1, 

 complessivamente, in x , y e sia, con ciò, 



P^Pi + z/ , Q = q l +E, 



Pi e Q! essendo complessivamente in x , y di grado p — 1 al massimo e 

 J , E non contenendo termini di grado minore di p . 



Ponendo y = fxx (fx costante) il nostro differenziale si riduce sotto la 

 forma 



(P, + /*Qi)+^(^+^) ^. 



ove con Pi , Q x , xj) denotiamo i valori di P x , Qi , tp per y = fi x , e con J , E 



v • • , • • J(x,fix) E(x,(ix) T1 . . , , 



ì polinomi, interi in x, — — % i — ì — • H differenziale precedente 



dev' essere un differenziale iperellittico di l a specie relativo alla curva 

 z 2 --ip (x , fi x), la quale è al più di genere p. Dev' essere dunque, per qual- 

 siasi valore di f.i e di x , J -4- pE—O , cioè, riponendo per n il valore - 



x 



e moltiplicando per x p+ì , J x -f- Ey = 0. 



Sicché sarà J--=y~p, E= — xF , essendo P una funzione razionale 

 intera di x , y i cui termini sono, al minimo, di grado p — 1 , complessiva- 

 mente, in x , y . E con ciò il differenziale prende la forma 



Pi dx dy -\-Y(y dx — xdy) 



