Poniamo ora y = fi x -f- v . Il differenziale precedente diviene (/t e v 

 essendo costanti) 



= ..V v . . 



ove Pi , Qi , P sono i valori di Pi , Q, , P per y = \ax -\- v . Separiamo in F 

 i termini di grado p — 1 da quelli di grado più alto, sia cioè F = G -f- S . 

 ove G è una forma binaria di grado p — 1 ed S un polinomio i cui termini 

 sono tutti di grado maggiore di p — 17. Osservisi che, essendo 



S(x,y+h) = S(x,y) + h^- + ---; 



è 



ove S' (x , ,«) è un polinomio intero in x . Dovendo essere (a) un differen- 

 ziale iperellittico relativo alla curva z 2 = ifJ (x , fi x -f- v), di genere p al 

 massimo, deve, per l' arbitrarietà di v , essere 0 S' (x , fi), e quindi anche 

 S(x,y) = Q, qualunque sieno x ed y , donde P si riduce a G, cioè ad 

 una forma binaria di grado p — 1 . Si conchiude perciò che : 



Qualunque differenziale totale di l a specie relativo al piano doppio 

 z 2 — ip (x , y) dev' essere della forma : 



Pi dx — j— Qi dy -\-F (y dx — x dy) 



vn> 



ove Pi , Qi sono polinomi di grado p — 1 , al massimo, in x , y , ed F è 

 una forma binaria di grado p — 1 in x ,y (che può eventualmente, ri- 

 dursi a 0). 



Per ciò che in seguito dovremo dire basterà tenere il differenziale sotto 

 la forma 



P dx -f- Q d y 

 1 *P 



tenendo presente che P e Q sono, al massimo, di grado p, essendo tp di 

 grado 2p -)- 2 . 



2. Tenendo presente che (1) dev' essere un differenziale totale e che 



. Ì P 7> Q . , v 

 quindi -= = -= , si ha 1 equazione 



~èyyxp ~ìx y ip 



(2) Vxpy — == 2ip {P y — <y , 



Rendiconti. 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 88 



