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ove con f x , f y si denotino le derivate parziali di una funzione /, rispetto 

 ad x e ad y . 



Consideriamo, insieme alla (2), l' equazione differenziale 



(3) P dx + Q dy = 0 



e supponiamo, per un momento, che essa ammetta un integrale generale della 

 forma 



, u » y) 



V(*,y)' 



U e V essendo funzioni razionali intere e A una costante arbitraria : in altri 

 termini supponiamo che le curve integrali della (3) costituiscano il fascio 



di curve algebriche U — XV = 0 . Il differenziale (esatto) di — d diffe- 

 risce allora da P dx -\~ Q dy per un fattore finito, necessariamente razionale, 

 ^ , ove co , fi sono polinomi interi in x ,y . Poiché, per ipotesi, £ e — = 

 sono due fattori integranti del differenziale F dx -\- Q, dy , necessariamente 

 distinti, il loro quoziente, cioè — t/it* , è, com'è noto, funzione dell'integrale 



CO 



U ^ XJ 



A = TT . Sicché fra a = — , ip e A = — passerà una relazione. Per trovarla, eli- 



»2 rj 



miniamo la # fra le due equazioni algebriche g = — 2 1/> , A = — (<? e A essen- 



do costanti arbitrarie). Si otterrà così una relazione algebrica fra g , A ed y ; 

 ma, poiché # è funzione della sola A , y non potrà comparire in tale rela- 

 zione. Sicché fra A e g passerà una relazione algebrica del tipo 



<P (A , #) = 0 , 



<P (A , g) essendo un polinomio intero in A e g , non identicamente nullo. 



— ,^ip\ si annulla identicamente. Se consideriamo 



nel piano (A , g) la curva di equazione Q> (A , g) — 0 , concesso anche, per un 

 momento, che essa sia riducibile, possiamo sempre considerarne la parte irri- 

 ducibile 



<p (A , g) = 0 



tale che (pi — ,—xpj si aunulli identicamente. La curva <f (A , <?) = 0 è certo 



razionale, perchè altrimenti noi potremmo considerare un differenziale abe- 

 liano di l a specie R^A legato a tale curva (R funzione razionale di A e g 

 che non s' annulla identicamente sui punti di quella curva). Allora, riponendo 



