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per X e q i valori =-,^iJ/, si otterrebbe un differenziale totale di l a specie 

 * ° V or + 



R 



— (VdU — UdV) relativo al piano x , y e non identicamente nullo, il che 

 è assurdo. Si può dunque scegliere una funzione razionale t di x e di y tale 



Al* U 



che g e A , cioè , — , siano funzioni razionali di £ . Si abbia dunque : 



co 



ove A (£) , B (t) sono funzioni razionali di t, e q e v funzioni razionali intere 

 di x , y , prime fra loro. 



Il nostro differenziale totale di l a specie P ^ ~H_Q f fy ^ ^ ^ eguale 



ftp 



a— - ^ 



perchè, per ipotesi, ci — = - (Pdx -j- Qdy), si riduce così al 



V 



a* 1 V co 



|- li/ 



B' (7) ci^ 



differenziale abeliano — , relativo alla curva £ 2 = A (t), del piano £ , t • 



1 'A(0 



Poiché tale differenziale dev'essere di l a specie, il genere della curva £ 2 — A(/), 

 evidentemente irreducibile perchè A(^) non è un quadrato (tale non essendo ip), 

 è almeno 1, sicché tale curva è ellittica od iperellittica. Intanto osserviamo 

 che sulla nostra superficie, 's 8 ;=== tp (x , y), ad ogni curva del fascio g — ^'=0, 

 del piano x , y , corrispondono le due curve ove la superficie è incontrata 

 contemporaneamente dal cono (cilindro) g — t v = 0 e rispettivamente, dalle 



due superficie z = ^\/ k{t) , z = — ^| / A(^). La serie algebrica co 1 di tali 



curve è un fascio ed è in corrispondenza birazionale colla serie di punti della 

 curva £ 2 = A(if); quindi la superficie z 2 = ip{xvy) possiede un fascio ellit- 

 tico od iperellittico di curve le cui immagini (doppie) sul piano x , y sono 

 le curve del fascio q — t v = 0 . 



Viceversa, una tal superficie possiede, com' è noto, differenziali totali di 

 1* specie. 



Riassumendo : 



Se la superfìcie z 2 = ip(x,y) possiede il differenziale totale di l a 



specie ^ x ~t~ Q ^ e p integrale generale dell" equazione differenziale 



P dx -f- Q dy = 0 è della forma X = R (x , y), ove R è simbolo di funzione 

 razionale e X costante arbitraria,, la superficie contiene un fascio ellittico 

 od iperellittieo di curve. 



