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3. Vogliamo contare, perchè ciò interessa in seguitò, quanti siano, nel 

 nostro caso, i differenziali totali esistenti sulla superficie e linearmente indi- 

 pendenti. Anzitutto occorre premettere il seguente 



Lemma : Sulla superficie z 2 = ip (x , y) (piano doppio) non possono 

 esistere due integrali di differenziali totali di l a specie che non siano 

 l'uno funzione dell'altro. 



Difatti, se 



l rPdx + Qdy j _ f "P'dx + Q'dy 



sono due integrali siffatti, sarà (per la (2) del n. 2) 



V% — QV* = (Py — 0*) 

 Vxp,/— Q>* = 2if> (F y — Q'*) 



donde 



(PQ' — FQ)y x = 2fA 

 (PQ'-FQ)t/V = 2V/B, 



essendo A e B due certi polinomi interi. 



Ora si osservi che, essendo ip = 0 , curva di diramazione del piano 

 doppio, priva di componenti multiple, solo in un numero finito di punti di 

 essa curva si annullano contemporaneamente ip x e ip y . In tutti gli altri 

 punti di ip==Q deve essere PQ' — P'Q == 0 . 



E, poiché ìp è di grado 2^> — {— 2 mentre PQ' — P'Q e, al massimo, di 

 grado 2p , dev' essere, identicamente PQ' — P'Q = 0 donde F integrale J è 

 funzione di I. 



Premesso questo lemma, se. la superficie possiede un fascio ellittico od 

 iperellittico, i differenziali totali di l a specie da essa posseduti sono quelli 

 (e solo quelli) i quali provengono dai differenziali iperellittici legati a tale 

 fascio (considerato come ente algebrico oo Se n è il genere del fascio, il 

 numero di quelli linearmente indipendenti è dunque n. 



4. Ora passiamo al teorema che è scopo di questa Nota. 

 Supponiamo che la superficie z 2 = ip(x,y) possegga due differenziali 



totali di l a specie, linearmente indipendenti, 



Vdx + Qdy Ydx+ Q'dy 



P O 



Allora, come abbiam visto (n. 3), PQ' — P'Q = 0, cioè ^ == De- 

 notando con -^7 la frazione irreducibile valore comune di ^ r e%, sarà 



