— 696 — 



Nella presente ricerca io riduco il problema alla risoluzione di un si- 

 stema di equazioni di forma più trattabile, e che meglio si presta allo studio 

 generale di esso. 



Il metodo da me seguito mi porta, oltre che alle superficie sferiche, e 

 d'area minima, alla determinazione di un' importante classe di superficie per 

 le quali l'anzidetta rappresentazione è possibile. 



È questa la classe delle superficie di rotazione. 



Date due superficie S ed S, , supponiamo che sia possibile di fare 

 una rappresentazione conforme di S, su S, in guisa che ad ogni sistema 

 coniugato dell'una, corrisponda un sistema coniugato sull'altra. 



Le linee di curvatura u = cost. v — cost. formando un sistema coniu- 

 gato e ortogonale dovranno corrispondersi sulle due superficie ; per conseguenza 

 gli elementi lineari corrispondenti potranno porsi sotto la forma 



ds 2 = E du 2 -\-G dv 2 

 dsì = E, du 2 + Gì dv\ 



ed essendo la rappresentazione conforme dovremo avere 



(1) |—|j=« *(«,»). 



Inoltre, dovendo fra loro corrispondersi i sistemi coniugati, si dovranno 

 corrispondere anche le linee assintotiche, e viceversa; per cui indicando con 



D du 2 + D"dv 2 

 Di du' + Dl'dv* 



le seconde forme fondamentali di S ed S, rispettivamente, dovrà essere 



(2) j± = j±=k i (u,v). 



Indichiamo con ri ed r 2 i raggi principali di curvatura della superficie S. 

 Le due equazioni di Codazzi e di Gauss, relative a tale superficie, potranno 

 scriversi, com' è noto, nel modo seguente (') : 



(3) (lpÌ_lVl^ 

 ~òu\ ri / r 2 du 



fi n -j/eg 



EG \ ìu \j/E T>* ) ~> V \VG ^ v A 



(') L. Bianchi, Lezioni dì Geometria differenziale, pag. 273, voi. I. 



