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Al caso di — == — j- 1 corrisponde la sfera, che non ha per noi interesse ; 

 al caso, invece, di — = — 1 corrispondono le superfìcie d'area minima, caso 



Ti 



evidente a priori, costituendo le assintotiche su queste superficie un sistema 

 ortogonale ed isotermo. 



Escludendo, allora, queste due classi di superficie, supporremo 



S+.SS1. 

 r 2 



Dalle (9) potremo quindi trarre per s e t le espressioni seguenti : 



n r 2 jì('Ci\_ r 2 r \ j_ i r _\ 

 ^ r\ — ri \rj ^ r\ — r\ ~òu \r 2 ) 



q r, V E ìv\r 2 ]/ Gr) r? E ' 7? ' 



Per vedere se queste due equazioni alle derivate parziali del secondo 

 ordine ammettono o no, una soluzione comune z (u , v), si può seguire il 

 il metodo indicato dal prof. Bianchi (*). 



I calcoli che s'incontrano, data la forma complessa delle (10), risul- 

 tano, però, assai lunghi e complicati; talché io non ho potuto finora trarne 

 partito per risolvere il problema in modo completo. 



Dalla complicazione delle condizioni necessarie a che il problema am- 

 metta sempre soluzioni, si può, tuttavia, dedurre con sicurezza quasi com- 

 pleta che, in genere, data una qualunque superficie S, non ne esisterà 

 un' altra Si rappresentabile su quella in modo conforme-coniugato. 



Ho cercato, quindi, di dedurre per via indiretta qualche soluzione par- 

 ticolare del sistema (10). 



Poniamo per semplicità detto sistema sotto la forma 



(11) U = Ap + B2 



V ' \t = a(e 22 — 1) -f- pp -f yq -f ór , 



e proponiamoci di ricercare se sia possibile soddisfare ad esso con una fun- 

 zione di sola v. 



(') Sulle soluzioni comuni a due equazioni alle derivate parziali del secondo or- 

 dine. Rendiconti dell'Accademia dei Lincei, 1886. 



Rendiconti. 1904, Voi. XIII, 1° Sem. 89 



