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Se a non è funzione di sola v, caso già considerato, questa equazione 

 non potrà essere soddisfatta se non è contemporaneamente 



(13') 



t t — Y 1 q = 0 

 \Vq-\-e*~ — l = 0. 



Cerchiamo allora le condizioni d'integrabilità di questo sistema. 



X" 



Indichiamo con X una funzione della sola v, e poniamo Y x = -jr . 



A, 



L'integrazione della l a equazione del sistema dà 



q — a X' 



ossia 



z = aX -}- b 



essendo a e b costanti. 



Sostituendo questa espressione di s nella 2 a si trae 



(14) aVX' + ce iaX — 1 = 6", 



che dovrà essere soddisfatta per certi valori delle costanti arbitrarie che vi 

 figurano. 



Si conclude: 



Affinchè il sistema (13') ammetta delle soluzioni (si esclude la solu- 

 zione £ = 0 che per noi non ha interesse) è necessario e basta che i coef- 

 ficienti Vi e V siano legati da una relazione della forma (14). 



E perciò: 



L' equazione (13) ha delle soluzioni funzioni soltanto di v, in due casi : 



1) quando a e y sono funzioni unicamente di v. 



2) quando a e y, pur essendo funzioni di u e v, sono legati da una 

 relazione della forma 



\ — ce ìaX , X" 

 y= aX' " + 



ove X è funzione qualunque di v ; a e c costanti, ed a e / hanno le espres- 



sioni 



a ~ ri ' Y ~ r x \/ E ~òv\r, (/ G / ' 



Tralasciando questo secondo caso, ci occuperemo nella Nota presente, 

 soltanto del primo. 



Siano, dunque, a e y funzioni di sola y, cioè 



