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ad ogni retta di ciascuno dei due piani corrisponde un punto nell'altro, e se più rette 

 in un piano appartengono ad un punto, i punti corrispondenti nell'altro piano appar- 

 teranno ad una retta. Allorché si annulla il determinante formato con i coefficienti 

 delle derivate della forma bilineare rispetto alle variabili dell'una o dell'altra serie 

 (che chiamerò il discriminante della forma bilineare) si ha un caso speciale della di- 

 pendenza correlativa tra i punti dei due piani ; in tal caso vi è in ciascun piano un 

 punto singolare, pel quale la retta corrispondente nell'altro piano è indeterminata, ed 

 allora a tutti i punti che in un piano sono per dritto col punto singolare, corrisponde 

 una stessa retta nell'altro piano, appartenente al punto singolare ; la forma congiunta 

 della forma proposta si decompone in tal caso in due fattori lineari. Analogamente 

 quando si annulla il discriminante della forma congiunta, per la dipendenza correla- 

 tiva fra le rette dei due piani. — Se poi si annullano tutti i determinanti minori del 

 discriminante della forma bilineare proposta (il che accade quando questa si decom- 

 pone in due fattori lineari),' vi saranno in ciascun piano infiniti punti singolari, ap- 

 partenenti ad una retta singolare, per ciascuno dei quali la retta corrispondente nel- 

 l'altro piano è indeterminata ; in tal caso ogni punto non singolare in ciascun piano 

 ha sempre per retta corrispondente nell'altro piano la retta singolare ; la forma con- 

 giunta della forma proposta è allora nulla identicamente. Analogamente, quando si 

 annullano tutti i determinanti minori del discriminante della forma congiunta, per la 

 dipendenza correlativa tra le rette dei due piani. 



« Dopo ciò, suppongo che le due figure correlative definite dalla forma bilineare 

 proposta, o dalla sua forma congiunta, appartengano ad uno stesso piano, riferendo 

 i punti e le rette ad una stessa terna fondamentale di' rette e di punti. Si hanno 

 allora due linee notevoli di 2° grado, F una in coordinate di punti, e 1' altra in 

 coordinate di rette (che dirò le coniche fondamentali) ; la prima è il luogo dei punti 

 ai quali appartengono le rette corrispondenti nella correlazione, e 1' altra è l' invi- 

 luppo delle rette alle quali appartengono i punti corrispondenti nella correlazione, 

 passando dalla prima figura alla seconda, o dalla seconda figura alla prima. Queste 

 due linee di 2° ordine e di 2 a classe hanno tra loro doppio contatto: i due punti 

 di contatto delle due coniche fondamentali, ed il polo comune della loro congiun- 

 gente costituiscono una terna involutoria di punti, poiché ciascuno di essi ha la 

 stessa retta corrispondente nella correlazione, passando dalla prima figura alla se- 

 conda, e dalla seconda figura alla prima ; questa terna delle rette corrispondenti è 

 costituita dalle due tangenti di contatto delle due coniche fondamentali, e dalla po- 

 lare comune del loro punto d'incontro, ed è involutoria, poiché ciascuna di esse ha 

 lo. stesso punto corrispondente nella correlazione, passando dalla prima figura alla se- 

 conda, e dalla seconda figura alla prima. — Xa determinazione della tema degli ele- 

 menti involutorì (punti e rette) delle due figure correlative dipende dalla risolu- 

 zione di un'equazione di 3° grado, reciproca, ed ai casi di eguaglianza fra le radici 

 di questa equazione corrispondono i casi speciali della correlazione (supponendo che 

 non s'annulli il discriminante della forma bilineare o della sua forma congiunta) : 

 una conica fondamentale "può ridursi ad una coppia di rette, ed allora l'altra conica 

 fondamentale si riduce ad una coppia di punti ; le due coniche possono avere tra 

 loro un contatto di 3° ordine, o finalmente possono coincidere fra loro ; in quest'ultimo 



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