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della geometria a n dimensioni, in ispecial modo quella che riguarda la curvatura 

 degli spazi, sono state trattate col metodo analitico, io ho sviluppato il mio lavoro 

 col metodo sintetico con l'aiuto delle due operazioni fondamentali proiettare e segare. 

 Qua e là ho adoperato anche il metodo analitico, specialmente dove tratto delle curve 

 di genere p qualunque , ma subordinandolo sempre al metodo intuitivo, dirò così 

 plastico, che scaturisce da quelle due operazioni fondamentali. Per studiare le pro- 

 prietà projettive di una curva o di una superficie nello spazio a tre dimensioni, egli 

 è in molti casi conveniente di cercare un ente geometrico ad una o a due dimen- 

 sioni nello spazio a n dimensioni R Jt , dal quale la curva o superficie data si possa 

 ottenere come projezione o come sezione; il quale ente geometrico diventa sempre 

 più semplice rispetto alle sue singolarità quanto più si aumenta il numero delle di- 

 mensioni dello spazio R E così non solamente si può studiare quella data curva o 

 superficie, ma ancora un' intera classe di curve o superficie, che si ottengono da quel- 

 l'ente geometrico proiettandolo in tutti i modi possibili. Consideriamo per esempio 

 quattro punti del piano, purché non situati tutti in una retta; essi si possono otte- 

 nere come projezione dai vertici d'infiniti tetraedri dello spazio a tre dimensioni. Ora 

 w-f-l punti qualunque del piano o dello spazio a tre, a quattro ecc. a n — 1 dimen- 

 sioni sono sempre la projezione dei vertici di infinite piramidi di n-t-1 punti nello 

 spazio R„. E viceversa data una tal piramide in R (i si possono ottenere da essa me- 

 diante projezione tutte le specie di configurazioni di n-t-1 punti sul piano, nello spa- 

 zio a tre ecc. dimensioni, intendendo che due configurazioni sono della stessa specie 

 quando gli n-*-l punti di esse sono disposti nella stessa guisa. 



«Se consideriamo per esempio la curva razionale d'ordine n in R /t ,da essa, pro- 

 jettandola in tutte le maniere possibili, si ottengono tutte le curve razionali d'ordine 

 n o minore di n negli spazi a meno di n dimensioni. Ma la C" in R, t è affatto ge- 

 nerale e non ha singolarità di sorta e si può generare mediante dei fasci proiettivi ecc; 

 è chiaro adunque che lo studio delle diverse specie di curve razionali in uno spazio 

 qualunque (e perciò anche nel piano e nello spazio a tre dimensioni) è reso molto 

 più semplice mediante la C' 1 in R„. Cose analoghe hanno luogo per le altre curve. 



« Conservo le denominazioni di punto, retta e piano nel senso adoperato comu- 

 nemente, mentre gli spazi li chiamo col loro vero nome, cioè spazio a tre, a quat- 

 tro ecc. a n dimensioni, e li indico rispettivamente coi simboli R 3 , R 4 ecc. R, ( 

 con R 0 , Ri, R2, indico invece il punto , la retta e il piano. Chiamo curva 0 spazio 

 ad una dimensione il luogo generato da un punto che si muove in due direzioni 

 (avanti e indietro) secondo una data legge algebrica 0 trascendente e la dico dell'or- 

 dine m se essa, essendo contenuta in uno spazio R„, viene incontrata da uno spa- 

 zio R„_i in m punti. Analogamente chiamo superficie d'ordine rn e a due, tre ecc. 

 n — 1 dimensioni, uno spazio che viene incontrato da uno spazio R„_i in una 

 curva, in una superficie a due, tre, ecc. ti — 2 dimensioni dell' ordine m. Ho dato 

 le definizioni del parallelismo mediante lo spazio R„_! all' infinito dello spazio 

 R, e quelle della perpendicolarità mediante la sfera immaginaria a n — 2 dimen- 

 sioni 0 per meglio dire mediante il sistema polare sferico a n — 1 dimensioni al- 

 l' infinito ». 



Teorema I. — « Una superficie dell' ordine m e di p dimensioni F/' (che è 



