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una curva quando p == 1) può essere contenuta negli spazi R.,^-i R p+J2 ecc. Rp^ m _i, 

 vale a dire una superficie F m di quante si vogliano dimensioni può essere situata 

 in soli m — 1 spazi. La superficie F p m ha una superficie sviluppabile a p -+- 1 di- 

 mensioni che può svilupparsi negli spazi R p -^, R^, ecc. R„_! quando essa sia 

 contenuta in uno spazio R„. 



Teorema II. — Quando in uno spazio R, i vertici di q — 1 piramidi di p punti 

 giaciono due a due rispettivamente in p rette passanti per un punto 0 e si pone : 



q — n — r -*- % ; p = N — (n — r-i-1) 

 esse determinano mediante l' intersezioni dei loro spigoli, faccie piane, faccie a 3 di- 

 mensioni ecc., una figura completa di 



N(N — 1).,.(JST — n-+-r) N(N — 1)...(N — n-t-r — 1) N(N—1)...(N— n+l) 



ciascun R fl passano N — (n— r-t-l)R h ^-R 2 ... > ( r _ -1) , -R r _i 



» Rt » N — (n — r -+- 2) R 2 ... - -, — ~^>r-\ 



X> — ■ 



R r _ 2 » [N — (n — 2)]R r _i 



ciascun Ri giaciono (n — r -+- 2) R 0 



» R 2 » v ^ R 0 , (n — r-+-3) Ri 



n (n — l)...(n — r-r-1) n (n — l)...(n — r-+-2) ~ 

 * R -i » jyi Bo, (^Zgji R '"- 



« Questa figura ha le stesse proprietà rispetto ad ogni suo punto o rispetto a 

 tutti i suoi spazi: Rj, R 2 . . . ecc. R _i delle medesime dimensioni. Per es. per ogni punto 

 della figura si possono formare q — 1 piramidi di p punti, che giaciono due e due in rette 

 passanti per esso e che danno luogo alla stessa figura. Questa figura si può ottenere 

 con la sezione fatta con uno spazio R,.. dalla configurazione completa di N punti nello 

 spazio R,. E per dualità può essere ottenuta anche come projezione d' una figura 

 d'uno spazio a maggiori dimensioni di R,. 



« La figura così ottenuta in R,. è duale di sè stessa se 



N — 2n — r -t- 1 



Come caso speciale si ottiene: 



Teorema III. — « Quando i vertici di due piramidi di r -t- 1 punti in R,. sono 

 due a due* rispettivamente allineati con un centro di prospettiva 0, gli spigoli e le 

 faccie di diverse dimensioni corrispondenti delle due piramidi s'incontrano in spazi 

 di uno spazio R _ t (spazio di prospettiva) che corrisponde al centro 0. 



« La figura completa è l'intersezione d' una configurazione di r h- 3 punti in 

 uno spazio ad r -+- 1 dimensioni. Essa contiene : 



(r+3) ( r +3)(r-H-2)(r^-l) p (r+3) (r-+-2) (r+1) r p (r+2)(r+3) 

 2 Ro ' 23 Rl ' 2X4 E26CC - 2 



Transunti — Vol. V.° 



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