spazi R m -i , mentre la superficie di 2° grado a n — 1 dimensioni in uno spazio R„ 

 ove n=2«iM-l contiene due sistemi di 



3 3 4 (m-\ìm 

 oo ....... i ' 



spazi R,,_i. Per m=l si ha invece 2 ^ Ri, come è già noto. 



Teorema VI IL — « Una curva C" in R,, ove ni>n ha in generale 3 n carat- 

 teri più il genere p, fra i quali hanno luogo 3 (n — 1) equazioni indipendenti fra 

 loro più un' equazione pel genere, di modo che bastano 3 caratteri della curva, per es: 

 ordine, genere e cuspidi, per determinare gli altri. La curva C " può inoltre avere 

 n — 2 elementi stazionari (tangenti d' inflessione, piani stazionari ecc. spari stazio- 

 nari a n — 2 dim.) e n elementi doppi (punto doppio, tangente doppia ecc.). 



Teorema IX. — « Tutte le soluzioni intere e pesitive delle 3 (n — 1) equazioni 

 (perciò anche delle equazioni di Plùcker nel piano) per p=o sono i caratteri di 

 curve esistenti. 



Teorema X. — « Una curva C"' che ha in R, il massimo genere p non può 

 ricevere punti doppi o cuspidi oltre a quelli che già possiede senza che si abbassi 

 il genere. Dico che due curve C " di genere p in R , sono della stessa specie quando 

 hanno gli stessi caratteri, fatta astrazione dai 3/5 — 3 moduli della curva; in caso 

 contrario sono di diversa specie. 



Teorema XI. — « Tutte le curve razionali d'ordine n in R, sono della stessa 

 specie. Chiamo perciò la curva razionale C" in R /( una curva razionale normale dello 

 spazio R„. 



« Tutte le curve razionali degli spazi R 2 , R 3 R„_i d'ordine n o minore 



di n si possono ottenere mediante la projezione da una C* in R„. E viceversa da 

 una curva razionale C" in R„ si ottengono mediante projezione tutte le curve razio- 

 nali possibili negli spazi R 2 , R3 . . . • . R„_i. 



« Questo teorema come si vede è tanto importante quanto il teorema V sulle 

 configurazioni di n -+- 1 punti, perchè si possono studiare le singolarità e le specie 

 delle curve razionali mediante lo studio di una curva razionale unica senza singo- 

 larità e che si lascia costruire semplicemente. 



« Un analogo teorema ha luogo anche per le curve ellittiche di genere p = 1 cioè : 



Teorema XII. — « Tutte le curve ellittiche C'- 1 in R„ sono della stessa 

 specie, una C"-^ 1 dunque con p = l è una curva ellittica normale dello spazio R,. 



« Ogni curva ellittica degli spazi R 2 , . . . R„_i d'ordine n+lo minore di 11 -+- 1 

 può essere ottenuta colla proiezione di una curva C in R . E viceversa da una curva 

 ellittica normale in R,, si possono ottenere tutte le specie di curve ellittiche negli 

 spazi R 2 , R3 ecc. R,,^ mediante projezione. 



« Naturalmente hanno luogo anche i teoremi correlativi. 



Teorema XIII. — « La curva C"-*- 2 in R ;1 può avere per massimo genere p — 2, 

 C"- 3 p = 3 e C 2 '- 1 p — n— 1. 



« La legge non ha più luogo per C 2 " poiché essa può avere il genere p = n-*-l ( 1 ). 



Teorema XIV. — « Le curve C H + S col massimo genere p= s>» 1 e<n deter- 

 minano diverse specie. Le chiamo curve normali d'ordine n-^-s di genere s. Ogni 



( 1 ) Questo teorema appartiene a Clifford. On the Classi fication of Loci. Philosoph. Transactions 1878. 



