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Per arrivare a questa formula il Robin dimostra da prima, che la dif- 



fn 



ferenza fra il massimo ed il minimo valore del rapporto '— tende verso 



fn 



zero. Poi fa vedere che il rapporto — tende esso stesso verso un limite 



e 



fn 



in ogni punto di a. Ne viene di conseguenza che — tende verso una certa 

 costante k, ossia che 



(8) lim f n = kè. 



M = 0O 



11 Robin osserva che se la funzione / ha lo stesso segno in tutti i 

 punti di e, non può essere k —Jò . Ma poi dimostra che per qualunque 

 valore di n si ha: 



(9) [ f n da= f fda; 



quindi per la forinola (5), sarà f n d<s=\ eda, e perciò k=l: onde la 



formula (8) si ridurrà alla (7). 



Nella prima parte della sua dimostrazione il Robin, seguendo il metodo 

 di Carlo Neumann per la risoluzione del problema di Dirichlet, divide la 

 superficie a in due gruppi di regioni : un primo gruppo corrispondente ai 



punti nei quali il rapporto - è minore della media aritmetica M tra il suo 



minimo ed il suo massimo valore; ed un secondo gruppo corrispondente ai 



f f ■ 



punti nei quali - è maggiore di M. Se esistono delle regioni ove - sia 



6 & 



uguale ad M , esse possono attribuirsi indifferentemente all' uno o altro gruppo. 

 Come ha osservato il prof. Volterra, questa divisione della superficie o - 



f f 



(divisione che deve poi ripetersi per tutti i successivi rapporti — , — , ecc.) 



può presentare delle difficoltà, d'altronde superabili ('). 



Nella presente Nota faccio vedere come si può arrivare alla formula (7), 

 seguendo in sostanza la via tracciata dal Robin, ma con un procedimento 

 più semplice e del tutto rigoroso (per il quale non si richiede la divisione 

 della sup. e, a cui accenno sopra). Questo procedimento, al pari di quello 

 del Robin, suggerisce poi le note formule di risoluzione dell'equazione (2), 

 e di un'altra più generale relativa al problema dell' induzione magnetica. 



Io dovrò ammettere col Robin l'esistenza della funzione e che verifica 

 l'equazione (3). Ricorrendo al metodo del Neumann, sopra menzionato, si 



(') Volterra, Sul principio di Dirichlet, Kendiconti del Circolo Matematico di 

 Palermo, tomo XI, a. 18y7. 



