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Geometria. — Sui gruppi di proiettività. Nota di Guido Fu- 

 bini, presentata dal Socio L. Bianchi. 



1. In una mia Memoria (') ho dimostrato che, se un gruppo discontinuo 

 di collineazioni reali (immaginarie) lascia fissa una forma quadratica (Her- 

 mitiana) di tipo ellittico o iperbolico, esso è propriamente discontinuo: ciò 

 che ha portato a svariate applicazioni di tali gruppi a problemi aritmetici 

 e funzionali. Qui per la prima volta io tratterò i gruppi generali di proiet- 

 tività, lascino, o no. essi fissi una forma quadratica o Hermitiana. 



Lo sviluppo delle idee di questa Nota deve essere lasciato a future 

 ricerche, che si presentano non troppo difficili. Per brevità mi occuperò qui solo 

 di proiettività reali : le proiettività immaginarie si studiano, sostituendo nel 

 seguente teorema forme Hermitiane a forme quadratiche; per essere più 

 semplice parlerò solo di forme ternarie: il metodo è però generale. 



2. Il teorema fondamentale è il seguente : 



Un gruppo discontinuo G di proiettività reali P a determinante -f- 1 

 nelle variabili omogenee x x , x% , x 3 , coordinate in un piano ti, è propria- 

 mente discontinuo in una regione K di uno spano S 5 a 5 dimensioni. 

 Lo spazio S 5 non è che il piano n considerato come luogo di coniche 

 Sant xì xn = 0 a coefficienti reali, ossia è quello spazio, in cui le a ifl sono 

 coordinate reali omogenee (e in cui G opera pure in modo . proiettivo). 

 La regione E di S 5 è quella che corrisponde a forme F definite (elissi 

 immaginarie a coefficienti reali di ti) non degeneri. 



Dim. Dna proiettività P, ridotta a forma canonica, è di uno dei tipi 

 seguenti : 



(I) x[ = qìXì (i = 1 , 2 , 3) (qì costanti reali ; Qì q 2 Q3 = 1) 



(II) x[ = q 1 Xi x' 2 = Qz(cosdx 2 — sen0x 3 ) x' 3 — q 2 (cos 6x z -f- sen 6x0) (^^|=1) 



(III) x[ = Qi(Xi-\- X%) x'z — QìXi X Z = Q 2 X 3 {qÌQì=1) 



(IV) x[ = Xi 4" X % X 2 = Xì J r x 3 x' z = x z . 



Ora, ricordando che per una forma F definita non degenere le quantità 

 a n , a 22 , a 33 sono sempre differenti da zero, si riconosce tosto che se una 

 tale forma può essere portata dalla P in una forma infinitamente vicina, 

 allora P è del tipo (I) 0 del tipo (II). (Ricordiamo che P è rappresentata da 

 un punto, che supponiamo a distanza finita dal contorno di R). Se la P è 

 del (I) tipo, devono essere tutte le q pochissimo differenti da + 1 ( caso ^ a 



C 1 ) Sulle forme quadratule ed Hermitiane, ecc. Atti dell'Accademia Gioenia, 1904. 

 Kendiconti. 1901, Voi. XIII, 2° Sem. 11 



