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escludersi, perchè P sarebbe allora infinitesima e G, contro l'ipotesi, non sa- 

 rebbe discontinuo) oppure una di esse, p. es. e, , deve essere pochissimo differente 

 da -f- 1 , mentre q, , q 3 differirebbero di pochissimo da — 1. La P 2 in 

 quest' ultimo caso sarebbe infinitesima (ciò eh' è assurdo, perchè G è sup- 

 posto discontinuo) a meno che non fosse proprio (>, = 1 , q 2 = q 3 = — 1 . 

 Se la P è del (II) tipo si riconosce tosto (con ragionamenti analoghi a 

 quelli di Fricke Automorphe Functionen, pag. 97) che, se nessuna potenza 

 di P è infinitesima, deve essere ^ = 1, e 8 razionale con In. Le uniche 

 proiettività P di G che possono portare una F in una forma infinitamente 

 vicina sono perciò proiettività di uno dei tipi seguenti : 



(Pi) X\ — X \ X<i — X-z X$ — Xz 



(P 2 ) x\ = Xi x' 2 — cos 8 x% — sen 8 x s x' 3 = cos 8 x 3 -J- sen 8 x 2 . 



Ora Pi , P 2 lasciano fisse rispettivamente le forme : 



(FO lx\-\- mx\-\- nxl-\-2px 2 x 3 



(F 2 ) lx\ + m(x\~\- x\) 



dove l ,m ,?i ,p sono costanti qualunque, legati dalla sola condizione che 

 Yi (F 2 ) sia definita. Il sistema delle (FJ uno è spazio a 3 dimensioni S 3 

 in S 5 ; il sistema delle (F 2 ) è una retta Si in S 5 ; come rivela un facile 

 calcolo le uniche forme F (gli unici punti di R) che P t o P 2 portano in 

 forme (in punti) infinitamente vicini sono quelle (quelli) che sono infinita- 

 mente vicine a una delle forme Fi o F 2 (vicini allo S 3 o Si assiale della 

 considerata trasformazione). Di più notiamo che dato lo spazio assiale S 3 o S x , 

 la Pi o la P 2 sono determinate a meno al più dell'angolo 8. Ora, se G 

 fosse in R impropriamente discontinuo, vicino a ogni punto di R passerebbe 

 uno di questi S, o di questi S 3 ; in una regione di R esisterebbero almeno 

 due di questi Si o S 3 infinitamente vicini ; siano U , V le corrispondenti 

 trasformazioni ; le U _1 VU e la V sarebbero trasformazioni (simili) con spazi 

 assiali distinti, ma infinitamente vicini. La U _1 VUV _1 sarebbe perciò infi- 

 nitesima, senza però ridursi alF identità. Il gruppo G, contenendo trasfor- 

 mazioni infinitesime, non sarebbe discontinuo, contro l' ipotesi. 



L' importanza di questo teorema e dell'analogo per proiettività complesse 

 (cfr. § 1) consiste in questo, che esso dà uno spazio, in cui un gruppo 

 discontinuo qualunque è impropriamente discontinuo, e perciò possiede un 

 campo fondamentale H . Per la ricerca dei campi fondamentali è, come ho 

 dimostrato nella Memoria citata, assai importante l' introduzione di metriche 

 ossia di un invariante (distanza) di 2 punti. Anche nel nostro caso 2 punti 

 di S 5 (due coniche di n) hanno, com'è ben noto, non uno, ma due invarianti 

 distinti rispetto a ogni proiettività di ti; il vedere quale possa essere l'im- 



