— 85 — 



portanza di tali invarianti nella ricerca effettiva dei campi fondamentali, 

 deve essere lasciato a future ricerche. 



3. Accennerò ora, come i risultati precedenti, diano senz'altro il mezzo 

 di risolvere le due questioni fondamentali: 



L Quando mai G opererà in modo propriamente discontinuo sulle 



— , — , considerate come variabili complesse, e si potrà perciò parlare di 



Xz Xz 



X \ Xz 



funzioni delle — ,— invarianti per G (automorfe) ? 

 Xz &z 



II. Come si possono applicare i risultati precedenti alla teoria arit- 

 metica delle forme quadriche di tipo iperbolico? 



Ad entrambe le domande si risponde con uno stesso artifìcio. 



Consideriamo il piano n come luogo di rette t\ > £2 , £3 e il gruppo G' 

 (correlativo di G) nelle variabili £. Pensiamo a G', al solito, come operante 

 sulle forme F' quadriche fj £ ft e indichiamo ancora con S , E lo spazio 

 delle e quella regione di esso che corrisponde a forme definite. La F\ 

 se degenere, si sdoppia in due punti immaginari coniugati ; lo studiare come 



G opera sulle variabili complesse — , — corrisponde perciò a studiare come G' 



Xz Xz 



opera sulle coniche degeneri. Costruito perciò un poliedro H' fondamentale 

 per G' in S avremo: 



// gruppo G è propriamente discontinuo nelle variabili complesse 



— , — e può servire alla costruzione di funzioni automorfe, allora e 



Xz Xz 



allora soltanto che G' opera in modo propriamente discontinuo sulle forme 

 quadriche degeneri, ossia quando H' ha tra le sue faccie un pezzo della 

 superficie (/? >s )==.0. Indico con il determinante delle /?. Sia ora 



2aik %i %k mia forma iperbolica in coordinate di punti. Sarà 2aa firn un 

 invariante per G e G' ; la F è determinata, appena sia dato in S l' iperpiano I 

 definito da 2ai k (3^ = 0 (dove si intendono come coordinate correnti). 

 E la F si potrà dire ridotta, se I taglia H': ne discende tosto che ogni 

 forma F è equivalente almeno a una ridotta; di più le regioni di I interne 

 ai poliedri fondamentali contigui ad ET si potranno con una trasformazione 

 di G' portare entro H'; essi determineranno così nuove forme ridotte, che 

 diremo contigue alla forma ridotta iniziale. Le proiettività, lascianti fissa 

 la F, corrisponderanno a proiettività di S , lascianti fisso l' iperpiano I ecc. 

 Come si vede dunque, anche la teoria delle forme di tipo iperbolico rientra 

 nella nostra teoria generale ed è completamente analoga alla teoria di Klein 

 per le forme di Gauss. 



Oss. I a . Il fatto che i gruppi proiettivi su 2 variabili omogenee con- 

 ducano precisamente a gruppi lascianti fissa una forma quadratica risulta 

 ora evidente dal fatto che il discriminante di una forma quadratica 0 



