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Consideriamo, come nella Nota Sul principio della immagini di Lord 

 Kelvin e le equazioni della elasticità ('), un mezzo elastico cristallino avente 

 per piani di simmetria i piani z = cost. Noi potremo scrivere le equazioni 

 d'equilibrio sotto la forma 



(1) 4n u -}- J i2 v -\- J i3 w = 0 i— 1,2,3 



dove le Ju sono simboli di operazioni che si riducono a somme di derivate 

 seconde con coefficienti costanti. Gli integrali di questo sistema, come quelli 

 delle equazioni generali, si possono esprimere mediante tre funzioni y> , xp , % 

 le quali soddisfacciano alla unica equazione 



J u J l2 



12 ^/ 22 <d 23 

 J x3 J t3 J 



33 



f = Jf=0. 



2 = 1,2,3 



mediante le formole 



(2) u , v , w = Fu (p -f- Fa xp -f- F i3 % 



dove le F is sono le operazioni rappresentate dai minori corrispondenti al 

 termine F is nel determinante simbolico precedente ( 2 ). Le tre funzioni g>,xp,x 

 possono chiamarsi come già feci in altra occasione, la terna generatrice 

 degli integrali u ,v ,w . 



Ora conviene osservare che se invertiamo la direzione dell'asse delle z, 

 cioè mutiamo z in — s , le operazioni 



^11 ) ^22 ) ^33 i <^12 



rimangono invariate di forma, mentre le operazioni 



^13 i <^23 



mutano di segno. Ne segue che anche le operazioni 



F il , F 22 , F 33 , F 12 



rimangono invariate, mentre mutano di segno le 



F 13 ) F 23 . 



Ora, tenendo conto di questa osservazione, se noi nei secondi membri 

 delle (2) mutiamo z in — z , questi divengono 



F n (f{x , y , — z) + F n xp{x , y , — z) — F 13 y\x ,.y , — z) 



F \t <p{x , y , — *) + ^22 V(# ;y , — *) — ^23 %{x , y , — s) 

 — F 13 (p(x,y, — z) — F 23 xp(x,y, — z) + F 33 %(x , y , — *)'■. 



Di qui segue immediatamente che gli integrali riflessi, rispetto al piano 

 z = 0 , degli integrali (2), cioè le funzioni 



u' — u(x,y, — z) , v' = v(x , y , — z) , w' = — w(x,y, — z) 



(>) Voi. XI di questi Eendiconti, 1° sem. 1902, pag. 146. 



( 2 ) Cauchy, Eosercices d'Analyse et de Physique mathématique, T. I. 



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