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potranno ancora essere rappresentati mediante le (2) stesse, purché in queste 

 formole alle funzioni <p , xp , % si sostituiscono le funzioni 



<p' = <p{x , y , — *) , xp' = ip(x , y , — z) , / = — %{x , y , — z). 



In altri termini, se noi consideriamo le funzioni cp ,xp , % come le com- 

 ponenti di un vettore {generatore degli integrali u , v , w) gli integrali ri- 

 flessi avranno per vettore-generatore il vettore riflesso. 



Questa proprietà può essere assai utile in molti casi, poiché il campo 

 del vettore-generatore è in generale rappresentato da funzioni più semplici 

 di quelle che rappresentano il campo del vettore-spostamento. 



2. Un'altra proprietà di cui dovremo far uso è la seguente, Consideriamo 

 un vettore il quale in tutto il campo abbia direzione costante, mentre 

 d'altra parte la sua grandezza può variare in modo qualunque. Se l ,m ,n 

 sono i coseni di questa direzione, esso avrà componenti della forma 



u = lfì(x,y,z) , v = miì(x,y,z) , w = nS2(x,y,z) 



essendo Sì (x , y , z) una funzione qualsiasi. Il vettore riflesso rispetto al 

 piano z = 0 , avrà per componenti 



u = lSì(x , y , — z) , v = mSì{x ,y , — z) , w = — nSì(x ,y , — z) 



ed avrà quindi esso pure direzione costante in tutto il campo, e precisa- 

 mente la direzione simmetrica di quella del vettore primitivo. 



Componendo i due campi precedenti noi otterremo un campo simme- 

 trico od antisimmetrico rispetto al piano z = 0 , ma che non è più, in ge- 

 nerale, a direzione costante. 



Più in generale supponiamo di avere un gruppo simmetrico di n piani ; 

 fissata una direzione arbitraria l :i , m x , m.\ , noi possiamo immaginare il gruppo 

 di 2m direzioni che insieme alla data sono simmetriche rispetto al gruppo 

 dato dei piani. Questo gruppo di direzioni si otterrà riflettendo successiva- 

 mente la direzione data sui piani del gruppo in tutti i modi possibili. Indi- 

 cheremo con li , vii , ni i coseni di direzione di queste rette ottenute colla 

 operazione di ordine i. 



Siano inoltre 



Xi = Xi(x , y , z) yi = yi{x.y,z) Zi = Zi(x,y,z) 

 ì ;== .1, , 2 ,, . . . , 2 : w? 



le 2m sostituzioni dal gruppo che mutano, cioè, un punto qualsiasi x , y , z 

 nei 2m — 1 rimanenti, secondo l'ordine prestabilito. 

 Partendo dal vettore 



Ui = li co (x , y , z) Vi = m x oo(x , y , z) w x = nico(x , y, z) 



noi otterremo, per ciò che precede, tutti i vettori del gruppo ponendo 



ih = k <o(xi , yi , *,) Vi ''==■ meo (xi , pi , Zi) Wi = ni a (xì ,yi,z) 



cioè i vettori del gruppo saranno tutti a direzione costante, e le loro 

 direzioni formeranno un gruppo di direzioni. 



