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Il campo simmetrico od antisimmetrico corrispondente si otterrà ponendo 



W = Y £j k (tì(Xi , ÌJi , Zi) 



i=l 



2m 



(3) v=Te i m i (o(xi,yi,3i) 



1=1 



in 



w = ^_si nitori , yi , zi) 



dove f i = 1 nel caso della simmetria ed et = ( — nel caso dell'anti- 

 simmetria. 



La costruzione di questi gruppi si ottiene quindi in modo molto sem- 

 plice: 1° costruendo il gruppo delle 2m direzioni k , w,- , ni simmetriche 

 della direzione data; 2° costruendo le 2m funzioni che risultano dalla 

 (o(x ,y , z) colle 2m sostituzioni del gruppo, ossia, possiamo dire costruendo 

 le 2m funzioni simmetriche della <o(x,y, s) rispetto al gruppo dei piani dati. 



3. L'applicazione di questi risultati alla determinazione delle deforma- 

 zioni ausiliarie precedentemente considerate si può fare immediatamente. 

 Noi possiamo fissare che il campo del vettore-generatore in queste deforma- 

 zioni ausiliarie sia appunto un campo a direzioni costanti, e allora basterà 

 prendere per la funzione <a(x ,y,z) un integrale dell'equazione 



Jf=0 



e costruire la deformazione generata dal vettore che ha per componenti 

 (p,ifj,X i secondi membri delle (3), dove per direzione l x .m x ,n x si è 

 presa una direzione arbitraria. 



Si otterrà così una deformazione il cui vettore-spostamento è simme- 

 trico od antisimmetrico rispetto al gruppo dei piani dati. Se poi l' integrale 

 a>(x , y , z) non è regolare, ma vien scelto il modo che gli spostamenti cor- 

 rispondenti abbiano un punto d'infinito isolato di primo ordine, gli sposta- 

 menti così costruiti daranno la deformazione ausiliaria cercata. È noto che 

 tali integrali esistono in generale. 



Finalmente la direzione l x , m t , n x potrà poi essere determinata in ma- 

 niera che nelle formole integrali definitive si ottenga lo spostamento secondo 

 una direzione qualsiasi prefissata. 



Questo metodo applicato al caso della isotropia porta a risultati di 

 notevole semplicità ed eleganza. Ne daremo qualche esempio. 



4. Le formole (2) per l'isotropia prendono la forma ( l ) 



(4) 



u = ((o 2 — n 2 ) ^--\-n 2 j 2(p 



dy 



oZ 



(') Cfr., Sopra gli integrali delle equazioni della isotropia elastica. Nuovo Ci- 

 mento, S. 3, V. 36. 



