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ove 



dx ~òy ~ò& 



e l'equazione cui devono soddisfare le y,^,/, si riduce di quarto ordine 

 e diviene 



J 9 J 2 f=0. 



Osservando che le (4) hanno la stessa forma delle equazioni d'equilibrio, 

 si conclude subito che esse sono invarianti per un cambiamento qualsiasi di 

 assi, e che quindi per un tale cambiamento le funzioni y , ip , % verranno 

 sostituite dalle componenti secondo i nuovi assi del vettore ((p,ip , %). Questa 

 grandezza vettoriale si presenta quindi spontaneamente nella rappresenta- 

 zione di una deformazione, come il vettore dello spostamento, il vettore che 

 rappresenta la rotazione elementare, ecc. 



Nel caso nostro gli spostamenti, coi quali si dovevano dapprima com- 

 porre le deformazioni ausiliarie, risultavano per successive riflessioni dagli 

 spostamenti (13) della Nota precedente, i quali rientrano nella forma (4) 

 quando si ponga 



(f = r ip = x = 0. 



Il campo del loro vettore-generatore è quindi un campo a direzione 

 costante. Noi prenderemo questi spostamenti sotto una forma più generale 

 ponendo 



y = /, r xp — . w?i r % — n x r 

 ove li ,wii , ni sono i coseni di una direzione arbitraria. La funzione 



r = ]/(x — a) 2 -\-(x — bf + (g — cf 



viene così a prendere il posto della co(x , y , s) delle formolo precedenti e 

 le (4) divengono così: 



U\ — (co 2 — .Q 2 ) — /j f- Mi — ■ + n x — | A h 



v ' ~òx \ ~òx ' r 



(5) Vi = (co 2 — Sì 2 ) — { ^ \- «! h n x — H " Wi 



v ' y ~òy \ 1x i ~òy 1 13 J ~ r 



^ = (ft) 2 -£ 2 )-^ - + + n x -j + — ni 



La costruzione del gruppo corrispondente si riduce alla costruzione del 

 gruppo delle direzioni simmetriche ad (li , mi , ni), il che sappiamo fare, ed 

 alla determinazione delle 2m — 1 funzioni che si ottengono da r colle sosti- 

 tuzioni del gruppo applicate alle variabili x ,y , s . 



Ora possiamo dimostrare che queste funzioni hanno relazioni molto sem- 

 plici con r. 



Avremo infatti in questo caso 



» {%i , fi , Zi) = \l (xì — a) 2 -f- (> — b) 2 + (Si — c) 2 



