— 134 — 



cioè la funzione m(Xi ,yi , 2 t ) è la distanza del punto (a , b , e) dal punto 

 che si ottiene da (x,y,z) colla operazione d'ordine ì, che possiamo chia- 

 mare Sj . Se ora al sistema dei due punti {pei , yi , zi) (a , b , c) applichiamo 

 l'operazione S~* (inversa di S,) il punto (Xi,yi,Zi) ritorna in (x,y ,z) ed 

 il punto (a ,b ,c) andrà ad occupare una delle posizioni (a s , b s , c s ) che si 

 ottengono da (a ,b ,c) colle stesse operazioni del gruppo. Ma le operazioni 

 che noi consideriamo non alterano le distanze (essendo o simmetrie o con- 

 guenze); avremo dunque 



f&i — af -f Ut — bf + (*, - cf = \l(x — a s y + (y — b s ) + (* — c s )\ 



Di qui segue che il gruppo delle funzioni co(Xi,yi,Zi) nel nostro caso non 

 è altro che il grurpo delle distanze del punto (x ,y ,z) dai 2m punti 

 (ai , bi , d) ( l ). Questa osservazione è assai utile poiché ne segue che gli 

 spostamenti riflessi degli spostamenti (5), rispetto ad un piano qualsiasi 

 del gruppo, si otterranno sostituendo alle costanti a , b , c , ed l v , m x , ??i 

 che compariscono come parametri, le corrispondenti costanti a s , b s , c s , ed 

 li , Mi , ni . La forma degli spostamenti stessi rimane quindi inalterata, per 

 quanto riguarda le variabili indipendenti. 



Possiamo ora riassumere il risultato a cui siamo arrivati nel modo 

 seguente. 



Fissato un punto (ai . b\ , ci) nello spazio S occupato dal corpo, costru- 

 iamo il gruppo dei 2m punti (ai , bi , ci) che si ottengono con riflessioni sui 

 piani del gruppo. E analogamente presa ad arbitrio una direzione l x ,m\,n x 

 costruiamo il gruppo analogo di direzioni fa , mi, ni. Poniamo 



n = ]/(x - Oif + (y - h)* + (* — ci)\ 



Le deformazioni ausiliarie che risolvono i due problemi alterni rela- 

 tivi allo spazio S, sono le deformazioni che hanno rispettivamente per 

 componenti del vettore- generatore 





<p = 



2m 

 i=l 



i=l 



iy +i 





(6) 



</,= 



y mi ^ 



i=l 



2m 

 i=l 



i) i+i 



m-i ri 





% = 



2m 



2m 



z' = Z(- 



i=l 



ìy* 1 



ni ri. 



Ciascuna di queste due deformazioni serve a determinare, in funzione 

 degli elementi noti al contorno, il valore della espressione 



(7) %n&tù x (l x u-\-m x 'o-\-niw) 



(') Per uniformità di notazione riterremo i puuti (Xi , y t , Zi) (bi , c t , di) come gli 

 stessi di (x,y,z) (a,-b,c). 



