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où K et Kj désignent deux quantités positives et finies, tandis que 



0^ e <l , 0^,<1. 



Cela pose, je dis que les deux fonctions (3) et (4) sont développables 

 dans une serie de la forme (2) convergente pourvu que > 0 ('). Écri- 

 vons en effet sous cette forme l'intégrale (1) 



= f \ (i) [1 — (1 — t)J- 1 di , 



puis supposons ® (x) > 0 , la serie infime 



ò==CO j 1 \ 



Z(-i) s f7 )q-.o s 



est intégrable terme à terme de t = 0 à / = 1 , ce qui donnera immédiate- 

 ment pour le développement cherché 



(7) ^'(^) = Z« S ("7 1 ), 



où nous avons pose pour abréger 



(Ibis) a n = J« W(l) = (— 1)" f 1 y (l) (1 — 0" di . 



Quant au coefficient general a n , l'inégalité (5) donnera sans peine la 

 valeur majorante 



(8) \a n \<~K- )Vp(1 — 0*~?dt = 



Kr(i-e)f(» + i- f ) 



r(n + 2 — 2 e ) 



posons maintenant pour abréger 



1 , 2 , 3 ... (r — 1) • r» 

 rW w ( w + l)(a> + 2)...(o;-}-r — 1) ' 



où r désigne un positif entier fini, nous aurons 



limr r (o)) = r(to), 



J'=00 



^ (*) 9i (%) désigne la partie réelle de ce. 



