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d'où. en vertu de (8) 



(8 bis) |fl„|< L • 



où L désigne une quantité positive qui resterà fìnie rnérne pour n infiniment 

 grand. 



Posons ensuite x — x -\- ix", où x et x" désignent des quantités réelles. 

 nous aurons, en vertu de (8 bis), la valeur majorante nouvelle 



<^ ni~ x '- 1 



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d'où ce théorème: 



L'intégrale définie ^(x) est développable en sèrie de coefficients bino- 

 miaux, sèrie qui est certainement convergente pour les valeurs piies de x 

 qui satisfont à l'inégalité S (x)^> 0 , mais absolument convergente pourvu 

 que nous ayons de plus U (x) ^> q. 



Pour e'tudier maintenant le développement en serie de coefficients bino- 

 miaux du produit ^(x) • c W l (se) , considérons tout d'abord le développement 

 du produit plus particulier 



Or, écrivons sous cette forme la défmition intégrale (3) 

 W(x) = ) 9>{t) t n ■ t 0 --"- 1 dt, 

 nous aurons le développement nouveau 



(9) W(| = 5 A*,, ■(^~ n s ~ l ) ì 

 où nous avons pose pour abréger 



(10) a„, s = (- i) s f 1 <p(t) r(i — ty dt = w(b + 1) , 



et la serie figurant au second membre de (9) est certainement convergente, 

 pourvu que ìk(x) > n . 



Posons maintenant dans (10) 



r='[i— ■■(! — t)2 n , 



nous avons, en vertu de (7bis), pour A„, s ce développement nouveau 



Rendiconti. 1904, Voi XIII, 2° Sem. 



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