— 520 — 

 Appliquoos ensuite l'identité élémentaire 



(x — 1\ — n — 1\ (n-\- s\(x — 1\ 



V « A s )-{ s )\nj-s)> 



nous aurons, en vertu de (9), 



dì) ("7 1 ) w w=ì>«(:^ s 1 )' 



où nous avons pose pour abréger 



(i&m (|? + *) • ^ 



Cela pose, appliquons l'inégalité (8), nous aurons, en vertu de (10), 

 cette valeur majorante 



r(«+i- g )r( g + i- e ) 



lAn ' sl<K r( w + S 4-'2-2(.) 



ou,_ ce qui vaut autant, 

 (12) 



B -C+ s 1 )|< L ^ i - p (47) 1 " p 



(» + s) 1+ *'-P ' 



où désigne une quantité positive qui resterà finie mème pour des valeurs 

 extréinement grandes de s, tandis que x == x -\-ix"; c'est-à-dire que nous 

 avons démontré cette proposition intéressante: 



La sèrie de coefflcients binomiaux (11) est absolument convergente, 

 fourvu que 1si{x) > q . 



Or, mettons 



(13) S *• "^>)< 



nous aurons 



(H) b s = (- i) s C xp(t) (l — t)'dt = J'°W X (1), 



et, en vertu de (8 bis), cette valeur majorante 

 (14 Ai*) \b s \<L 2 s?- 1 , 



tandis que la formule (11) donnera cette autre 



(15) b n (* - 1 ) W(x) = X A n B n , s (* ~ J) , 



