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 d'où, en vertu de (12) et (14: bis) 



(16) 



b n B 



+ <(» + «) (n + «) 



(n + s) l+a, '-P 



L, L 



Cela pose, mettons dans (15) successivement n = 0 , 1 , 2 , 3 , ... , puis 

 ajoutons toutes les équations ainsi obtenues, nous aurons une serie à doublé 

 entrée 4 dont les séries horizontales sont formées par les séries analogues 

 à celle qui figure au second membre de (15), tandis que les termes conte- 

 nant le méme coefiìcient binomial forment les séries verticales de J . Or, il 

 est évident que les séries verticales de J sont absolument convergentes pour 

 toutes les valeurs finies de x qui satisfont aux conditions §ì(x)^>q et 

 ®(x)^>Qi. Quant aux séries horizontales de J, elles sont absolument con- 

 vergentes aussi sous les mérnes coriditions, ce qui donnera immédiatement 

 l'inégalité (16); c'est-à-dire que nous avons démontré ce théorème général: 



Le produit • c K\(,r) des deux intégrales (3) et (4) est dévelop- 



pable en serie de coefficients binomiaux comme suit: 



sèrie qui est certainement absolument convergente pour toutes les valeurs 

 finies de x qui satisfont aux conditions St(x)^>g et £(<#)> (>i, tandis 

 que nous avons pose pour abréger 



où A Ptq est le coefficient défini dans (10 bis). 



Plus tard nous avons à démontrer que la serie (17) est convergente 

 pour toutes les valeurs finies de x à partie réelle positive. 



L'expression (11 bis) pour le coefiìcient général est assez compliquée, il 

 est vrai; or, introduisons les expressions intégrales tirées de (10) et (14), 

 nous aurons 



(17) 



d'où immédiatement 



posons ensuite tu 



z, nous aurons sans peme 



(18) 



