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ou, ce qui revient au rnème ('), 



(18»») a n = (- iyf\i- s y(£^-ip(j\dt\ 



ds. 



de sorte qu'ane comparaison entre (18 bis) et (7 bis) donnera ce théorèrne 

 general : 



Le produit des deux intégrales °-.V(x) et %? 1 (%ì) est toujours une inté- 

 grale du méme genre, savoir 



(19) W(x)- c lV l (z)= C x(£)'i^k, 



O'à nous avons posé pour abréger 



(19 bis) X (t) ^J* 



Or, la formule intégrale (19) connue, nous pouvons suppléer cornine suit 

 le théorèrne concernant la convergence de la sèrie (17): 



La sèrie de coefficients binomiaux obtenue pour le produit • ^i(x) 

 est convergente pour tout.es les valeurs finies de x à partie réelle positive. 



On voit du reste que la formule (19) peut ètre obtenue en multipliant 

 les deux intégrales (3) et (4) et en traitant le produit ainsi obtenu de la 

 méme manière que l'expression obtenue pour €X n , ce qui nous conduira, pour 

 des valeurs positives de x, à (19). Remarquons ensuite que les trois fonc- 

 tions W(#) , tyVi(x) et c W(x)- c W 1 (x) sont des fonctions analytiques de x, 

 pourvu que &(x)^>0, nous avons démontré la formule générale (19). 



Cependant il faut remarquer que cette démonstration directe de (19) ne 

 dit rien concernant les coefficients de la sèrie de coefficient binomiaux obtenue 

 pour °)J^(x) • ^i(x), de sorte qu'il faut reproduire dans l'ordre inverse nos 

 calculs précédents. 



M. Pincherle m'a indiqué la condition nécessaire et suffisante qui doit 

 étre remplie par une fonction développable en sèrie de coefficients binomiaux, 

 condition qui montre que les intégrales définies de la forme (3) ne repré- 

 sentent qu'un cas particulier des fonctions susdites. Pour étudier maintenant 

 le problème général concernant la multiplication de deux séries de coefficients 

 binomiaux revenons à la formule (9) et cherchons au second membre tous 

 les termes contenant comme facteur le méme coéfficient a p , puis remarquons 

 que les coefficients a s peuvent ètre considérés comme indépendants entre eux, 

 nous aurons la formule élémentaire 



^(-^(^vsetoe^^^K-i 8 )!^')- 



Cela posé, nous avons démontré cette proposition remarquable: 



i 1 ) Stolz, Grundzìige der Differenziai- und Integralrechnung, t III, pag. 89. 



