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Supposons de'oeloppable en sèrie de coefficienls binomiaux le produit 

 de ces deux séries du méme genre 



la formule (Il bis) nous détermine le coefficienl general de ce développe- 

 ment nouveau. 



Considérons roaintenant cette sèrie de coefficients binomiaux, convergente 

 ponrvu que ®(x)^> X ( l ) 



(21) W(a?) = S as '( X ~ 1 ) 



nous aurons immédiatement 



transformons ensuite, à l'aide de (20), tous les produits de deux coefficients 

 binomiaux qui fìgurent au second membre de (22), nous aurons une sèrie 

 particulière à doublé entrée J, dont les séries horizontales sont formées par 

 les expressions ainsi obtenues écrites de sorte que les termos qui contiennent 



le méme coefBcient binomial par exemple ~ ^ forment les séries vetti- 



cales de J; c'est-à-dire que toutes ces séries simples, verticales et horizon- 

 tales, contiennent n -\- 1 termes au plus. 



Quant aux séries horizontales de J, elles sont certainement absolument 

 convergentes, pourvu que $(x) > X -J- 1 ( 2 ), tandis que les séries verticales 

 se présentent sous cette forme 



< 23 > * = fPì Ì [ § * + (f) + § : 



où il faut, pour des petites valeurs des p, supprimer les termes contenant un 

 coefficient a r à indice négatif. 

 Cela posé, l'identité 



a p-n (-ir ar 



r \ * ) r r (l—x)r x 



( 1 ) Le champ de convergence d'une sèrie de coefficients binomiaux est la partie finie 

 du pian des x, située à droite d'une certaine ligne ^(%) = h perpendiculaire à l'axe 

 réelle. 



( 2 ) Le champ de convergence absolue de la sèrie W(#) est aussi une ligne perpendi- 

 culaire à l'axe réelle, et la largeur de la bande de convergence non absolue ne peut jamais 

 étre plus grande que l'unite. 



