nous donnera cette valeur majorante 



(24) |a r |<K- r x+e , 



où K désigne un nombre positif qui resterà fini méme pour des valeurs 

 iniiniiuent grandes de r, tandis que e est une quantité positive donnée aupar- 

 avant et étant aussi petite qu'on le veut. 



Or, l'inégalité (24) donnera imrnédiatement cette autre 



(25) IwpKK, •^-««-*\ 



où K, est un nombre du rnéme caractère que K, tandis q ne nous avons 

 pose x = x' -{- i x"; c'est-à-dire que la sèrie infinie 



est certainement absoluraent convergente pour les valeurs finies de x qui 

 satisfont à l'inégalité $t(x) ^> n--\- X -\- 1, d'où cette proposition essentielle: 



Sapposons convergente pour &(x)^> X une sèrie W(x) de coefficients 



binomiaux, la sèrie du méme genre obtenue pour y ó V\r~W(x) est cer- 

 tainement absolument convergente,, pourvu que §t(x) > X -f- n -f- 1. 



Considérons par exemple la sèrie binomiale ordinaire, nous aurons. 

 pourvu que \a \ << 1, 



(26) (i + u y- •(*7 1 )4» + "f. ■ X (" t s ) (3 + ')«*• 



formule qui n'est au fond autre chose que l'identité élémentaire 

 (1 _j_ a )*-i = (i _j_ a y (i _|_ a y-n-x 



On voit que (26) est pour |a|<[ 1, valable pour une valeur finie quel- 

 conque de x. Dans le cas particulier a = l, la formule (26) n'est valable 

 au contraire, que pourvu que $i(x) >• n ; c'est-à-dire que la condition suffi- 

 sante pour la convergence de la sèrie de coefficients binomiaux que nous 

 venons d'établir peut étre nécessaire aussi. En vérité je ne sais, pour le mo- 

 ment, aucune méthode generale pour décider si le produit de deux séries 

 de coefficients binomiaux est développable ou non dans une sèrie du méme 

 genre. 



