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 Si ottengono così le note equazioni: 



Z ^ r ha ri ...r h ^,...r k+1 ...r ~ Z Z Z- x * x » ^TZ 7 = °' 



=4=*) 



II r * ^ •«»■, - Z Z ■■• Z -v » ^ 7)1 „ = ? J 



(A = 1 , 2 , ...jt?) 



in cui 2! s ta a significare che bisogna fare la somma dei risultati ottenuti 



a 



considerando prima i coefficienti a della prima forma, poi i b della seconda, 

 ecc. e i sommatorii rispetto alle s devono essere estesi a tutte le combina- 

 zioni a fi — 1 dei numeri 1,2, ...p esclusi h e k, per la prima equazione, 

 ovvero escluso solamente h per la seconda. 



3. Il modo col quale abbiamo ottenuto le precedenti equazioni ci per- 

 mette di porle in relazione colle (39) e dedurne delle conseguenze. 



Ognuna delle (42) è coordinata ad uno dei coefficienti afè), come anche 

 accadeva di ognuna delle (39); ed è chiaro che da ciascuna delle (42) si 

 deve poter dedurre la corrispondente delle (39). 



Immaginando perciò J funzione, anziché delle a , b , ... , delle % e di P, 

 e indicando con Sì hh , fì hh le operazioni rappresentate da : 



Qm = Z Z n a 



7> 



v ~òa r ...r 

 possiamo scrivere: 



(44) Z£^|| H + ||i2 /ifc P = i2J 



e sostituendo tal valore in (42) e paragonando colla corrispondente (39), 

 possiamo trovare il valore di per tutti i possibili valori di h,k. Ki- 



troviamo così le relazioni differenziali cui soddisfanno le radici di un sistema 

 di equazioni algebriche a più variabili considerate come funzioni dei coeffi- 

 cienti delle equazioni stesse. 



Tali relazioni per il caso speciale in cui le forme date Steno di ordini 

 tutti eguali, furono trovate da Betti (Ann. di Mat. (1), t. I, pp. 193-204; 

 Opere Matem. t. I, 163-173) (') come estensione di alcune delle forinole 



(') E bene, ad evitare equivoci per lo studioso, notare un errore di stampa incorso 

 nella Memoria di Betti, e riprodotto anche a pag. 164 delle Opere, Matem. Nelle formole 

 in cui il Betti fissa le operazioni che corrispondono alle nostre il , deve leggersi t > u 

 e non t<^u. 



