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date da Raabe e Brioschi per il caso di una sola equazione algebrica, e da 

 esse il Betti prese il punto di partenza per ricercare quelle pei combinanti 

 di cui abbiamo trattato nella Nota precedente, e che noi invece, più in ge- 

 nerale, abbiamo ritrovato direttamente. 

 Si ha: 



/ Sì hn s,j = 0 per k =}= « , k <ip 

 i = — 1 per k = i , h == p 



(45) < = — znj per k — i ,h <Cp 



I =Zi per h = k=p 



\ = %■ Zìj pei' h=^ k,k=p 



e queste valgono anche per il caso in cui gli ordini delle p — 1 forme sieno 

 diversi fra loro. 



4. Una ovvia estensione delle formole (39) si riferisce al caso in cui, 

 anziché essere assegnate solo p — 1 forme fondamentali, ne sieno assegnate 

 v(p — 1) divise in v gruppi di p — 1 ciascuno, e si abbia un covariante J 

 che diviso per una potenza X x di un invariante P! delle p — 1 forme otte- 

 nute da quelle del primo gruppo, ponendovi ,x p = 0, per una potenza l 2 di 

 un invariante P 2 delle p — 1 forme ottenute da quelle del secondo gruppo 

 ponendovi x v = 0 , ecc. sia funzione solo dei sistemi di soluzioni comuni 

 dei v sistemi di equazioni corrispondenti ai varii gruppi. 



È evidente che allora, in luogo dei primi termini delle formole (39), 

 ne verranno v altri simili, ognuno corrispondente ad uno dei v gruppi, e 

 un analogo cangiamento subiranno i secondi membri della 3 a e 4 a delle (39). 



Inoltre se supponiamo che oltre le v(p — 1) forme fondamentali rispetto 

 alle quali il covariante J abbia la anzidetta proprietà, ve ne sieno delle 

 altre che non facciano parte di alcuno dei v gruppi, la modificazione che 

 subiscono le (39), già estese secondo si è or ora detto, è che al primo mem- 

 bro bisogna aggiungere un fì hH J esteso a tutte le restanti forme. 



5. E passiamo ora alla proprietà del sistema (39) già annunziata nella 

 Nota precedente. I primi membri delle (42) soddisfanno alla notevole proprietà 

 che essi formano un così detto sistema completo, cioè che indicandoli con 

 V/iftJ, la parentesi formata con due delle operazioni V è una combinazione 

 lineare di tutte le V. Questa proprietà è ben nota (') e risulta in modo 

 semplice dallo stesso processo della dimostrazione, giacché basta osservare 

 che i primi membri delle (42), per il modo stesso con cui sono stati rica- 

 vati, sono i simboli delle trasformazioni infinitesime relative alla serie di 

 trasformazioni (a parametri a) rappresentate dalle formole (34) e (40). Ora 



(') Per il caso binario v. Clebsch, Bin. Form., pag. 310, e per il caso generale 

 Forsyth, cit. 



