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sola. Ciò costituisce una prima differenza tra le funzioni automorfe gene- 

 rali e le funzioni più volte periodiche (')• Per evitare ogni ambiguità, noi 

 diremo semidiscontinuo ogni gruppo, che, pur contenendo trasformazioni infi- 

 nitesime, possiede però soltanto un numero discreto (p. es. finito o numera- 

 bile) di trasformazioni (il Fricke lo direbbe discontinuo, con trasformazioni 

 infinitesime). Sono però ben distinti l' ufficio e la natura, che le trasforma- 

 zioni infinitesime hanno in un gruppo semidiscontinuo, dall'ufficio, che hanno 

 le trasformazioni infinitesime di un gruppo continuo di Lie, che noi chiame- 

 remo trasformazioni infinitesime di Lie. La differenza sta in ciò, che le 

 trasformazioni infinitesime di un gruppo semidiscontinuo non bastano per 

 definire il gruppo, e non contengono parametri variabili con continuità. 



Teorema I. — Se una funzione F di n variabili x è trasformala 

 in se da un gruppo G proiettivo semidiscontinuo sulle x J essa ammette 

 almeno una trasformazione infinitesima di Lie, e perciò ammette proprio 

 un gruppo T proiettivo continuo di Lie. 



Il teorema reciproco è evidente. 



Dimostrazione. — Se f è una funzione delle x, indicheremo con f(A) 

 il suo valore in un punto A [come sempre, le x si suppongono coordinate 



in uno spazio S] ; con /",• indicheremo la — — ; se a, , u% ... u r sono r fun- 



zioni delle x con | u x u% ... u r ; Ai A 2 ... A r ] indicheremo quel determinante di r 

 linee e colonne, in cui Uì{kj) è Y j -esimo termine della i-esima linea 

 (i ,y = 1 , 2 , ... r). I punti A,- si immaginano naturalmente punti di S. 

 L' annullarsi identico (cioè per qualunque posizione dei punti A) del prece- 

 dente determinante è condizione necessaria e sufficiente, affinchè le u sieno 

 legate da una relazione lineare a coefficienti costanti. Ora affinchè la F am- 

 metta un gruppo proiettivo continuo, è condizione necessaria e sufficiente che 

 esistano delle costanti ai, a^^bh (i , l , k , h = 1 , 2 , ... n) in guisa che sia 

 identicamente 



J_ ai Fi + J_ am xi F' ft + J_ b h x h Jxj Fj = 0 (7 = 1,2 n) 



i l,k h 



ossia che le r = n (n -f- 2) funzioni 



F'i , x\ F' ft , x h Y xj 1/ 



sieno legate da una relazione a coefficienti costanti, ossia che si abbia iden- 

 ticamente J — 0 ( 2 ) dove 



J = \F'ì,xi F' ft , x h J_ àjTj ; Ai , A 2 , ... , A r | 



(!) E noto che una funzione uniforme di n variabili x, che ammetta un sistema 

 infinitesimo di periodi, si può, con un cambiamento lineare di variabili, ridurre a dipen- 

 dere da meno di n variabili: ciò del resto è immediata conseguenza del seguente teore- 

 ma II, in cui al gruppo H si sostituisca il gruppo delle traslazioni. 



( 2 ) Se à fosse di caratteristica s, la F ammetterebbe r — s trasformazioni linear- 

 mente indipendenti. 



Eendiconti. 1904, Voi. XIII, 2° Sem. 75 



