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Se dunque la P non ammette un gruppo proiettivo continuo, sarà J ={= 0 , 

 quando i punti A siano scelti in modo generico tra i punti di regolarità 

 della F. Io dico che in tal caso la F non può ammettere un gruppo semi- 

 discontinuo G. Sia infatti 



X Cik <Zk ~{~ Ci,n+\ 



il) x '.— . . {c ih == cost.) 



una trasformazione T generica di G. Scriviamola sotto la forma x\ == Xx -f- h 

 ponendo 



X ^ik %k~\~ ^i,n+i — Xì ^n+i,ft %k 

 §. _ _5 



k 



dove è 



Dovremo avere 



(3) F( t r i + J i )-F(^) = 0 



Ora, se G è semidiscontinuo, potremo supporre infinitesima la T, ossia le ó\ 

 piccole a piacere nei punti A. Ma allora la (3) si può scrivere per il punto A; 

 nel seguente modo : 



(4) y*(Aj)F ( (A,-) = 0 0'=l,2,...,r) 



i 



dove con F'ì(Aj) indichiamo una quantità, che si può far differire di quanto 

 poco si vuole dalla F'i(Aj), prendendo la T abbastanza prossima all' identità. 

 Ora J è differente da zero, e tale rimarrà, se al posto delle F'ì(Aj) poniamo 

 delle quantità <jp y -, tali che le | g> y - — F',(Aj)| sienojminori di una certa co- 

 stante s. Scegliendo dunque la T in modo_c_he |F',(Aj) — F'j(Aj)|<>, il 

 determinante J, che si ricava da J, ponendo F';(Aj) al posto di F'j(Aj), sarà 

 ancora differente da zero. Ora la (4) per ciascuno degli r punti A si può 

 scrivere : 



i L_ k _l k i 



Otteniamo così r equazioni lineari omogenee tra le r costanti A (che 

 non sono tutte nulle, perchè T è differente dall' identità). Dovrebbe quindi 

 essere nullo il determinante j di queste equazioni, ciò che è assurdo. 



Teorema IL — Il precedente teorema vale per ogni gruppo G anche 

 non proiettivo, purché esso si possa immaginare contenuto in un gruppo 

 continuo finito H : il gruppo T è in questo caso un sotto gruppo di H. (Nel 

 caso precedente il gruppo H sarebbe il gruppo generale proiettivo sulle n 

 variabili se). 



