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Sia infatti X A ft X ft ( dove X ft = y_hu ——) la più generale trasformazione 



infinitesima di H. Scritta una trasformazione generica T di G sotto la for- 

 ma x\ = Xì -j- ài , varranno ancora le (3) e ancora le ài si potranno sup- 

 porre infinitesime nei punti (A). Le (3) si possono quindi scrivere: 



(4 bis ) Vi (A,-) = 0 (k , j = 1 , 2 , ... r) {i = 1 , 2 , ... w) 



dove con £*i(Aj) , F';(Aj) indichiamo quantità, che differiscono dalle £ fti (Aj), 

 F'i(Aj) di quanto poco si vuole. Ponendo poi 



2>rJ" 4 ,... , Z^F'i ; A, , A 2 , ... A r ;*/== X^u^'f -Z^.-Ff; A, ,A 2 , ... ,A 



le considerazioni precedenti si possono ripetere quasi letteralmente. 



I nostri risultati si possono anche enunciare così: 



Teorema III. — Una funzione F^ ... x n ) uniforme nelle x, ammetta 

 un gruppo G di trasformazioni in sè stessa; e sia G contenuto in un 

 gruppo continuo finito H di Lie. Sono possibili questi soli tre casi: 

 1° G è un gruppo senza trasformazioni infinitesime. 

 2° G è un gruppo di Lie,, continuo (naturalmente intransitivo se 

 F =}= cost), sottogruppo di H. 



3° G è un gruppo che contiene un numero discreto di schiere di 

 trasformazioni ( , ). G contiene cioè come sottogruppo un gruppo r continuo 

 di Lie (sottogruppo anche di H) naturalmente intransitivo, se F =j= cost ; 



inoltre contiene altre trasformazioni T, . T 2 , T 3 permutabili con F e 



inoltre le tras formazioni prodotto di una T per una trasformazione di r. 

 Questi prodotti si possono supporre tutti distinti; il prodotto di due tra- 

 sformazioni T è uguale al prodotto di una terza T per una trasforma- 

 zione di r ( 2 ). 



(') Cfr. Lie-Engel, Transformationgruppen; l er Abschnitt; pag. 310, 321 e seg. 



( 2 ) Il primo e il secondo caso si possono immaginare come casi particolari dell'ultimo, 

 secondo che si suppone il gruppo r, o si suppongono le T ridotte all'identità. Nel caso 

 generale siano z t = cost ... z m = cost. (m <c n) le minime varietà invarianti di r. Prendiamo 

 come nuove variabili m funzioni (pi , q> s ... q> M indipendenti delle z, insieme ad altre n — m 

 funzioni q> m —i ■■■ (pn (indipendenti tra loro e dalle prime) delle x. La F diventerà funzione 

 delle sole <p x , epa , ... , cp m . Nel caso particolare che H sia il gruppo proiettivo, si potrebbe 

 chiedere se le qPi , qp 2 ... <p m si possono sempre scegliere in modo tale, che le T generino 

 su esse un gruppo di trasformazioni lineari. A questa importante, ma assai difficile que- 

 stione, io ho potuto rispondere solo in casi particolari (Cfr. le pag. e la nota seg.). Sarebbe 

 pure importante sapere se i teoremi I e II continuano ancora a valere nel caso che G 

 sìa impropriamente discontinuo, pure non contenendo trasformazioni infinitesime, e nel 

 caso che H sia il gruppo delle trasformazioni cremoniane (bir azionali): questioni tutte 

 da lasciarsi a ulteriori ricerche. 



