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Al primo di questi tre casi sono dedicati, tra l' altro, i miei lavori più 

 sopra citati, in cui si troveranno pure altre indicazioni bibliografiche. Il 

 secondo corrisponde allo studio dei sottogruppi intransitivi di un gruppo 

 dato H, per cui ci basterà rimandare al citato trattato del Lie. Quanto al 

 terzo caso, qui io mi occuperò soltanto delle funzioni di due variabili OC i ^ 00% 

 nel caso che il gruppo H sia il gruppo proiettivo : non riporterò però i cal- 

 coli relativi, del resto semplicissimi. Il gruppo T essendo intransitivo sarà 

 generato da trasformazioni infinitesime aventi le stesse traiettorie ; sia X una 

 di queste trasformazioni (proiettive); con un cambiamento proiettivo di varia- 

 bili coordinate, noi la potremo supporre ridotta a una delle seguenti forme : 



7) 7) . 7) Ti ~ò > 7) ,, 



— , x z — ~r -r~ > t— + T~ > x\ — -\-ax t — (a = cost) 



oXi ùX\ 0X2 cX\ 0X2 oX 1 0X2 



Nel primo caso la F non può dipendere che dalla solo x 2 ed è inutile 

 più oltre occuparcene. Nel secondo la F sarà funzione di 2 — X2 — 2xi e 

 le T, dovendo trasformare la X 0 in sè stessa 0 in una trasformazione con 

 le stesse traiettorie, saranno del tipo x\ = a 2 x x -f- abx 2 -f-e , x % = ax 2 -f- b 

 (a , b , costanti) ; esse mutano sin 2' = a 2 z -j- (b 2 — c). La F diventa una fun- 

 zione di s = x 2 2 — %x\ , che ammette un gruppo di trasformazioni del tipo 

 z' = kz-\-h (k , h costanti) 



Nel terzo caso la F diventa funzione di z = x 2 e~ Xl ; e le T , come si 

 riconosce tosto, inducono sulle z delle trasformazioni del tipo z' = kz {k= cost). 



Nel quarto caso F diventa una funzione di g = — - . Introducendo va- 



X2 



riabili omogenee yi , y.%,.y.3 , si ha: X = Y_ —(8i = cost), = 0 ( 2 ). 



Se Pi =j= 8% =f= 8 3 =4= 3\ , le T sono (in coordinate non omogenee) del 

 tipo x\ = hxi , x\ == kx 2 (h , k costanti) e inducono sulla z delle trasfor- 

 mazioni del tipo 2' — az (a = cost). Se invece /?, = /?2=f= 8 3 la X si può 



7) 7) ■?* 

 supporre del tipo x x — — -\-x 2 ; la F diventa funzione di z—^ eie T 



a z -4- 8 



sulla £ inducono trasformazioni del tipo 2 = " 7~ C (« , , y , J costanti). 



-j- 0 



f 1 ) Più generalmente nel caso di w variabili, se T si riduce al gruppo a un sol para- 

 metro generato dalla — '- — \- y x-:— 1 — , allora la F diventa funzione delle 



z k = Xl k — n [zi*- 2 z 2 —(k — 2) %t h - s x 3 -f (A — 2) (A — 3) A-4 #4 — 



— (A — 2) (A — 3) (k - 4) # 5 + - ± — j 1 a;, ar*_i =♦= n(A — 2) a?*] (A = 2 , 3 ... n) 



E su queste « « — 1 » funzioni le T non possono che operare linearmente (Cfr. Nota pre- 

 cedente). 



( a ) Cfr. Lie-Engel loc. cit. Cap. 27. Eisultati analoghi per n qualunque. 



