— 595 — 



In tutti i casi dunque, con un cambiamento (però non sempre proiettivo) di 

 variabili, ci riduciamo a funzioni automorfe di una sola variabile. 



L' estensione al caso di tre variabili non presenta difficoltà, e forse me 

 ne occuperò in un'altra Nota; il caso di n variabili pare assai difficile, 

 per la difficoltà, che presenta la ricerca di tutti i gruppi r proiettivi con- 

 tinui in n variabili. 



Fisica matematica. — Sulle funzioni potenziali elicoidali. 

 Nota di Giuseppe Picciati, presentata del Socio V. Volterra. 



Nello studio di potenziali che si sa essere dipendenti da due sole coor- 

 dinate, e che quindi conservano valore costante lungo date linee, hanno par- 

 ticolare importanza, come ha dimostrato il prof. Volterra ('), le funzioni 

 potenziali di masse ad una sola dimensione distribuite su queste linee. Tutti 

 i vari tipi di potenziali binari reali sono stati determinati dal prof. T. Levi- 

 Civita (-); essi si riducono ai seguenti: potenziali cilindrici o logaritmici, 

 potenziali conici che rientrano nel tipo logaritmico, potenziali circolari o 

 simmetrici, potenziali elicoidali, potenziali spirali. Per i due casi dei poten- 

 ziali logaritmici o simmetrici sono note le corrispondenti funzioni potenziali 

 di masse ad una dimensione distribuite sopra una retta indefinita o sopra 

 una circonferenza ( 3 ). Degli altri casi ha importanza quello dei potenziali 

 elicoidali, potendo interessare di conoscere la funzione potenziale di una 

 massa ad una dimensione distribuita sopra un'elica indefinita; questa ri- 

 cerca forma oggetto della presenta Nota. Si perviene ad assegnare per essa 

 una espressione in serie distinta in due tipi valevoli, uno per i punti interni 

 al cilindro su cui è tracciata l'elica, l'altro per i punti esterni. Ciò fa per- 

 fettamente riscontro a quello che si ha per i potenziali logaritmici, Infatti 

 è noto che per la funzione potenziale di una massa distribuita con la den- 

 sità lineare k sopra una retta indefinita parallela, per es., all'asse z, si ha 



5P =F — 2k log Yq 2 -f- — 2^ cos v , 



riferendoci a coordinate cilindriche q ,6 ,s, ed avendo indicato con g l ,d l i 

 valori corrispondenti alla retta data e posto 0 — Bi — v. Distinguiamo ora 

 i due casi seguenti : 



(') Annali della Scuola normale di Pisa, 1883: Sopra alcuni problemi della teoria 

 del potenziale. 



( s ) Accademia delle Scienze di Torino, 1899: Tipi di potenziali che si possono far 

 dipendere da due sole coordinate. 



( s ) Vedi Beltrami, Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche. Memorie del 

 l'Acc. delle Scienze, Bologna, S. IV, T. II, 1881. - 



