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soltanto una parte. Nel primo caso la F dicesi regolare, nel secondo irre- 

 golare ('). 



Così p. e. sono regolari le superficie razionali, le superficie dello spazio 

 ordinario prive di punti multipli, ecc., ecc.; mentre sono irregolari le rigate 

 irrazionali, le superficie che rappresentano le coppie di punti di una curva 

 di genere > 0 , ecc., ecc. 



Ciò premesso, passo ad esporre nelle sue linee fondamentali, la dimo- 

 strazione del teorema enunciato. 



Un integrale (3) di seconda specie, appartenente ad F , riguardato come 

 funzione del punto scorrente sopra una curva algebrica irriducibile D della 

 superficie, dà luogo ivi ad un integrale abeliano di seconda specie. Se la D 

 è variabile in un fascio, V integrale J stacca su essa razionalmente (rispetto 

 al parametro che individua la posizione della curva entro al fascio) un 

 gruppo di un numero finito di poli, i quali, al variare della D, descrivono 

 una o più curve algebriche irriducibili, che si dicono le curve polari del- 

 l' integrale J ( 2 ). 



In relazione a queste curve polari io considero gli ordini d'infinito e 

 le funzioni razionali residue (dei vari ranghi), le quali hanno un ufficio 

 analogo a quello dei coefficienti delle potenze negative dell'argomento, negli 

 sviluppi di Laurent, che caratterizzano un integrale abeliano di seconda 

 specie, intorno ai suoi poli. 



Supposto che gli assi di riferimento abbiano posizione generica rispetto 

 ad F , e supposto inoltre che tra le sezioni di F coi piani y = cosi non si 

 trovi nessuna curva polare di J (il che può sempre ottenersi, operando, nel 

 caso, una conveniente trasformazione omografica), si dirà che lungo la curva 

 irriducibile C l'integrale J diviene infinito d'ordiyie s , allorquando F inte- 

 grale abeliano 3(xy z) relativo alla sezione di F col piano generico y = y, 

 ha per poli d'ordine s i punti d'intersezione di questo piano con C. 



Nell'intorno di ciascun polo (x 0 yZo) l'integrale J(xyz) riguardato 

 come funzione di x, dà luogo ad uno sviluppo ben determinato, che comin- 

 cerà con un termine in — — . Al variare del punto (x 0 y z 0 ) lungo la 



\3C X§ ) 



curva C, il coefficiente di — - h (h = s , s — 1 , ... , 1) risulta funzione 



(x — Xo) 



algebrica uniforme, cioè funzione razionale del punto stesso. È questa fun- 

 zione eh' io chiamo la funzione razionale residua di rango h , individuata 

 da J sopra la curva polare C . 



(!) La definizione ordinaria equivale a quella che noi abbiamo qui preferito, come 

 più espressiva e più breve (Ved. Castelnuovo, Alcune proprietà fondamentali dei sistemi 

 lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica. Annali di Matematica (2) t. 25, 

 1897; n. 28). 



( 2 ) Picard et Simart, pag. 147. 



