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Nel mio ragionamento occorre in modo speciale la considerazione della 

 funzione residua di rango s, della quale trovo il gruppo dei poli ed il 

 gruppo degli zeri. Profittando di questo risultato (che trovasi enunciato in 

 modo esplicito più sotto, nel caso particolare s = 1), e della costruzione 

 degli integrali di seconda specie appartenenti ad una superficie, dovuta al 

 sig. Picard ( l ), riesco a stabilire che tutti gl'integrali di Picard della se- 

 conda specie, appartenenti ad una superficie F , si possono ridurre, per 

 sottrazione di funzioni razionali, ad integrali che divengano infiniti del 

 primo ordine soltanto lungo una conveniente curva irriducibile E, priva 

 di punti multipli, e appartenente ad un sistema lineare infinito. 



Non mi trattengo sulla dimostrazione di questo lemma, perchè anche 

 in essa giuoca in modo essenziale il concetto che inspira la dimostrazione 

 del teorema fondamentale, di cui vado ora ad occuparmi, supponendo già 

 effettuata la riduzione suddetta. 



Il gruppo dei poli della funzione residua y{xyz), di rango 1, indivi- 

 duata sopra E da un integrale di seconda specie J, che divenga infinito del 

 primo ordine soltanto lungo questa curva, è costituito dai punti di contatto 

 delle tangenti di E parallele al piano xz, e dai punti all'infinito della 

 curva stessa ; ed il gruppo degli zeri è costituito dai punti di E in ciascuno 

 dei quali il piano tangente ad F è parallelo all'asse z, e dai punti di E 

 ove l'integrale abeliano J(xyz) (con y parametro variabile) è regolare. 



Questi ultimi punti costituiscono un gruppo G della serie caratteristica 

 completa esistente sulla E, cioè della serie lineare completa che contiene 

 i grappi segati su E dalle curve del sistema completo |E|. Diremo perciò 

 che G è il gruppo caratteristico individuato su E dall'integrale J. 



Mutando J nella totalità degli integrali che divengono infiniti del primo 

 ordine soltanto lungo E, restano fissi tutti i poli della funzione residua <p, 

 e degli zeri variano soltanto quelli che costituiscono il gruppo G . Ciò accade 

 in particolare anche quando J si riduce ad una funzione razionale. In tal 

 caso G non è altro che il gruppo base del fascio J = cosi 



Ciò posto, se la superfìcie F possiede integrali trascendenti di seconda 

 specie, si può sempre supporre che l'integrale J non si riduca alla prima 

 specie per sottrazione di una funzione razionale. 



Basterà ad es. scegliere J per modo che i suoi periodi distinti sieno 

 tutti reali (o tutti immaginari puri): ciò è sempre possibile, perchè i pe- 

 riodi di un integrale di seconda specie appartenente ad F , si possono asse- 

 gnare ad arbitrio ( 2 ). Fatta questa scelta, non potrà darsi che J — R , ove R 

 è una funzione razionale qualunque, riducasi ad un integrale di prima specie, 

 perchè altrimenti sopra una sezione piana della superfìcie, J — Ridarebbe 



O) Picard et Simart, pag. 93 e segg. 

 ( 2 ) Ibidem, pag. 100 e segg. 



