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luogo ad un integrale abeliano di prima specie, i cui 2p periodi, essendo 

 determinati in funzione dei periodi distinti dell' integrale J mediante relazioni 

 lineari omogenee a coefficienti interi ('), risulterebbero tutti reali (o tutti 

 immaginari puri) : il che è notoriamente assurdo ( 2 ). 



Proverò ora che il gruppo caratteristico G individuato su E dall'in- 

 tegrale J, non appartiene alla serie segata su E dalle curve del sistema 

 completo |E|. 



Invero nell' ipotesi contraria che il gruppo G sia segato dalla curva E 

 di | E | , la funzione razionale R(x y z) (determinata a meno d'un fattore 

 costante), che ha per curva di livello zero la E e per curva d' infinito la E , 

 individuerebbe sulla curva polare una funzione residua g>\ avente gli stessi 

 poli e gli stessi zeri di <p. Sarebbe dunque: 



(f — X(p 



con X costante, e quindi l' integrale J — XR , resterebbe finito in ogni punto 

 di E; cioè sarebbe di prima specie su tutta la superficie, contro il supposto. 



Ne deriva che la serie caratteristica del sistema completo |E| non è 

 completale quindi ( 3 ) che la superficie P è irregolare. 



2. Giovandomi] sempre del lemma enunciato al numero precedente ; 

 nonché della considerazione delle funzioni residue, determino maggiormente 

 il teorema fondamentale, nel modo che segue: 



Data una superficie algebrica F di generi, aritmetico e geometrico, 

 P„ , Y g , l'irregolarità P p — P a della superficie, è almeno uguale all'ec- 

 cesso del numero degli integrali di seconda specie algebricamente distinti 

 sul numero degli integrali di prima specie linearmente indipendenti ( 4 ). 



3. Terminerò questo riassunto osservando che il teorema fondamentale 

 da me dimostrato, può anche enunciarsi come una proprietà di Anahjsis 

 situs, relativa alla varietà reale chiusa, a quattro dimensioni, i cui punti 

 rappresentano le soluzioni complesse dell'equazione d' una superficie regolare. 



Basta a tal uopo ricordare che se una superficie algebrica F possiede 

 integralPdi Picard trascendenti, della seconda specie, sulla varietà rieman- 

 niana V, immagine reale di F , esistono dei cicli lineari (cammini chiusi) 



(!) Picard et Simart, pag. 100. 



( 2 ) Ved. ad es. Appell et Goursat, Théorie des fonctions algébriques (Paris, 'Hau- 

 thier-Villars, 1895), § 118. 



(?) Castelnuovo, loc. cit. n. 27; ved. pure la mia Nota, Sulla deficienza della serie 

 caratteristica di un sistema lineare di curve appartenente ad una superficie algebrica 

 (Rendiconti dei Lincei, serie 5 a , voi. XII, 2° sem. fase. 7°, 1903. 



( 4 ) Ricordo che più integrali di Picard della seconda (o della prima) specie diconsi 

 algebricamente distinti (o linearmente indipendenti), quando una loro combinazione lineare 

 a coefficienti costanti, non tutti nulli, non riducesi mai ad una funzione razionale (o ad 

 una costante). 



Rendiconti. 1904, Voi. XIII, 2° Sem. 33 



