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che non si possono ridurre a punti per deformazione continua ; cioè l'ordine 

 di connessione lineare della V (o della F) è maggior d'uno('). 

 Si può dunque dire che: 



Per una superficie regolare l'ordine di connessione lineare è uguale 

 ad 1; oppure, in altri termini: 



Ogni cammino chiuso reale tracciato sulla varietà riemanniana a 

 quattro dimensioni, immagine di una superficie regolare, si può ridurre 

 ad un punto per deformazione continua operata entro alla varietà stessa ( 2 ). 



Questo teorema va confrontato col seguente, relativo alle curve razionali: 



« Sopra la superfìcie di Riemann, immagine d' una curva razionale, ogni 

 « cammino chiuso può ridursi ad un punto per deformazione continua ». 



Geometria. — Sui gruppi di proiettività. Nota di Guido Fubini, 

 presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



In una Nota dello stesso titolo di questa, pubblicata testé nei Rendi- 

 conti dei Lincei ( 3 ), sono dimostrati o accennati alcuni teoremi generali sui 

 gruppi di proiettività, includenti come caso assai particolare le teorie finora 

 note. È scopo di questa seconda Nota preliminare il dare un nuovo punto 

 di vista, sotto cui si può riguardare la nostra teoria, che serve a renderne 

 lo svolgimento della massima semplicità e generalità. 



I. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un gruppo di proietti- 

 vità unimodulari reali zi — 2 h a^ z k sia discontinuo (non contenga trasfor- 

 mazioni infinitesime) è che, scelto ad arbitrio un numero finito positivo N, 

 o non esistano, o esista un numero finito di proiettività i cui coefficienti 

 aih sono in valore assoluto minori di N (e ciò qualunque sia il numero 

 N scello). 



Infatti, se il gruppo non è discontinuo, esistono in esso infinite trasfor- 

 mazioni pochissimo differenti dall' identità, i cui coefficienti sono chiaramente 

 minori p. es. di 2 in valore assoluto. Viceversa se esistono infinite proiet- 

 tività del gruppo, a coefficienti minori di N in valore assoluto, esse avranno 

 almeno una proiettività limite P, a coefficienti finiti, unimodulare. Si po- 

 tranno perciò trovare due proiettività del gruppo, distinte, e differenti di 

 quanto poco si vuole dalla P e perciò anche differenti di quanto poco si 

 vuole 1' una dall'altra. Il prodotto di una per l'inversa dell'altra sarà una 



(') Picard et Simart, pag. 150. 



( 2 ) In particolare si ha il teorema di Picard già citato (P. et S., pp. 91 e 119), 

 relativo alle superficie prive di punti multipli; e l'estensione di questo teorema dovuta 

 à .Berry (Acta math., 27, 1903, pag. 157). 



( 3 ) Fase. 2°, 2° sem., 1904. 



