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proiettività infinitesima, appartenente al gruppo; questo non è dunque di- 

 scontinuo. 



II. Se una proiettività P reale unimodulare mula una forma qua- 

 drica definita non degenere in una forma infinitamente vicina, i suoi 

 coefficienti sono minori di un numero finito. Se la forma è p. es. 2 h Xi 2 , 



sarà y_aik, per ogni valore di i, pochissimo differente da 1; e perciò le am 



k 



sono tutte p. es. minori in valore assoluto di 2. 



III. Se un gruppo contiene proiettività, che mutano una forma qua- 

 drica definita non degenere in una forma infinitamente vicina (vicina 

 quanto si vuole), esso non è discontinuo. Infatti per I esso conterebbe trasfor- 

 mazioni infinitesime, perchè dall' ipotesi fatta si deduce per II che il gruppo 

 contiene infinite trasformazioni a coefficienti minori di 2. Ne discende subito: 



IV. Un gruppo reale discontinuo di proiettività opera in modo pro\ 

 priamente discontinuo sulle forme quadriche definite : questo è appunto un 

 teorema della Nota precedente, che include in sè come caso particolarissimo 

 il teorema di Poincaré sui gruppi Fuchsiani. 



V. Un gruppo reale discontinuo di proiettività lasciante fissa una 

 forma quadrica definita è finito. È immediata conseguenza di li, I. 



VI Tutti questi teoremi si possono estendere ai sistemi di forme defi- 

 nite, ai gruppi immaginarli, alle forme e ai sistemi di forme Hermitiane. 



Essi si possono anche estendere alle forme definite non degeneri di 

 grado superiore al secondo, ampliando così a nuovi campi la teoria dei 

 gruppi discontinui. 



VII. Anche il teorema generale (e le sue generalizzazioni) accennato 

 in fine della precedente Nota discende subito dalle nostre considerazioni. 

 Ricorderò anzitutto il teorema : Un gruppo di proiettività- in uno spazio S , 

 che lasci fissa una varietà F, è propriamente discontinuo in quella re- 

 gione R di S (se esiste), la quadriche polari dei cui punti sono del tipo 

 ellittico o iperbolico e contengono in questo secondo caso all'interno il 

 proprio polo. Infatti una proiettività del gruppo che porti un punto A di R 

 in un punto infinitamente vicino porta anche il cono di vertice A tangente 

 alla quadrica polare di A (il quale è per ipotesi a generatrici immaginarie) 

 in un cono infinitamente vicino. E vero che questo cono è rappresentato da 

 una forma quadrica (definita) degenere, in quanto che la sua equazione ha 

 il primo membro (in un opportuno sistema coordinato) indipendente da x x 

 (se X\ ==■ 0 è l' iperpiano polare di A) ; ma basta pensare che, se A va in 

 un punto infinitamente vicino, anche detto iperpiano va in un iperpiano infi- 

 nitamente vicino, perchè le considerazioni precedenti valgano ancora in pieno 

 rigore. 



VIII. I nostri metodi permettono anzi di completare il precedente risul- 

 tato. A ciascun punto A di S sono connessi invariabilmente più coni, p. es. i 



