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coni di vertice A tangenti a F, o a una delle varietà polari di A rispetto 

 a P. Noi avevamo definito come regione R quella, tale che il cono avente 

 per vertice un suo punto A e tangente alla quadrica polare di A fosse a 

 generatrici immaginarie; i nostri metodi permettono di assumere a regione R, 

 quella tale che uno qualunque dei coni invariabilmente connessi a un 

 suo punto appartenga allo spazio ambiente e non a uno spazio subordinato 

 e sia a generatrici immaginarie. È così ampliato il campo in cui il nostro 

 gruppo si riconosce propriamente discontinuo. 



Mi pare che i teoremi precedenti (alle cui possibili generalizzazioni ho 

 accennato nella prima Nota preliminare) portino la teoria dei gruppi gene- 

 rali di proiettività alla massima generalità e semplicità desiderabile. 



Oss. I a . Per l'estensione Vili e per la seconda parte di quanto si è detto 

 a VI basta dimostrare che il teorema II vale per forme definite di grado 

 anche superiore al II. Sia ffói., £C Z , ... , %„) una tale forma; i coefficienti 



di x™ , x-i m (dove m è il grado di /) sono certamente differenti da zero, 



anzi positivi, se come possiamo supporre, / è definita positiva. Noi li indi- 

 cheremo con bi , b 2 Diamo a una qualunque delle x il valore 1, mentre 



alle altre x diamo valori reali in modulo minori di 1. I valori corrispon- 

 denti di f avranno un certo minimo p , non nullo, anzi, per l' ipotesi fatta, 

 positivo. Se perciò noi diamo alle x dei valori reali, di cui il più grande 

 (in valore assoluto) è N, il valore corrispondente di / è certo non minore 

 di p N m . Perciò, se f è uguale a una certa quantità finita, i valori corrispon- 

 denti delle x sono in modulo minori di una quantità finita. Ma se la 

 x[ = 2 h aixXk muta f in una forma infinitamente vicina è f(an , a 2i , ... a n ì) 

 pochissimo differente da bi e perciò finito. Dunque, per quanto abbiamo 

 detto, tutte le sono inferiori a una certa quantità finita c. d. d. 



Oss. II a . Se noi abbiamo una metrica qualunque, definita da una forma 

 differenziale quadratica positiva e ricordiamo che un movimento x\ = f\(x u 

 x 2 , . . • , x n ) è definito, appena, in un punto generico, sono note le / e le 

 derivate, troviamo coi metodi precedenti : Un gruppo discontinuo di movi- 

 menti in una metrica qualunque è propriamente discontinuo in generale. 

 Ciò che include di nuovo i teor. VII, VIII perchè ogni tal gruppo si può 



considerare come gruppo di movimenti nella metrica 



dxi.dxk ecc., 



dove le x' si suppongano p. es. legate dalla /'-—costante. 



