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Prendiamo ora un numero qualunque ^> 1 diciamo n-\- \ , di soluzioni 



della (1) e siano 



0o , 0j , 0 2 . . . O n 



le corrispondenti soluzioni della (2), ciascuna fissata col fissare il valore 

 della costante arbitraria contenutavi. Noi ci proponiamo ora di risolvere la 

 questione seguente: 



Può accadere che la trasformazione di Moutard conservi la somma 

 dei quadrati delle n -j- 1 soluzioni f*, che si abbia cioè 



0...n o...m _ 



J_ 6\ = X »'i ? 



i i 



Poniamo in questa ipotesi 



O..M 0...n 



(4) J_ e\ = \ e\ = Q 



i i 



ed inoltre introduciamo un angolo o" tale che : 



0...n 



(4*) £ 6 t di = q cos a (») . 



i 



Se prendiamo le corrispondenti formole (3) : 



= (fi — fi) — — 



(i = 0,l,...n) 



e le moltiplichiamo una prima volta per di , una seconda per 0 , indi som- 

 miamo rispetto ad i da o a », otteniamo 



- — 4- y B i — = 



2 — Dm 



2^ + 2- 0f ~ 



q(1 — cos e) 

 q(1 — cos a) 



D log B 



7W 



7) log B 



Dm 



e queste sommate ci danno 



D (g COSO 1 ) oO 



Dm 



(') Nell'ipotesi di funzioni e formole reali l'angolo a sarà pure reale. 



